【高考领航】高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空间中的
平行关系课时规范训练 文 北师大版
[A级 基础演练]
1．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
答案：B
2．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：A项，α，β可能相交，故A错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故B错误；C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故C错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确． 答案：D
3．(2016·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是__________．
①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线； ②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线； ③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β； ④若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．
解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m，n也可能异面，故为假命题．
答案：②
4．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析：由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯
9
形CD1MN，易求其面积为.
2
9答案：
2
5．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．
解析：∵a与b没有公共点，不能推出α∥β， 而α∥β时，a与b一定没有公共点， 即p?/q，q?p，∴p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF1
∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC.又因为在
2正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝2.
答案：2
7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．
(1)求该多面体的体积与表面积；
(2)当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．
解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所13122222
以该多面体的体积为a，表面积为a×2＋2a＋a＋a＝(3＋2)a.
22
(2)点P与点A重合时，GP∥平面FMC. 取FC的中点H，连接GH，GA，MH.
1
∵G是DF的中点，∴GH綊CD.
21
又M是AB的中点，∴AM綊CD.
2
∴GH∥AM且GH＝AM，∴四边形GHMA是平行四边形．∴GA∥MH.
∵MH平面FMC，GA平面FMC，∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面
FMC.
8．(2016·石家庄二中一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°.
(1)求证：CE∥平面PAB；
(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P-ACE的体积． 解：(1)证明∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠FDC＝30°.
又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°， ∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点． 又E为PD的中点，
∴EF∥PA，∵AP平面PAB，EF平面PAB， ∴EF∥平面PAB.又∠BAC＝∠ACF＝60°， ∴CF∥AB，可得CF∥平面PAB. 又EF∩CF＝F，
∴平面CEF∥平面PAB，而CE平面CEF， ∴CE∥平面PAB.
(2)∵EF∥AP，AP平面APC，EF平面APC， ∴EF∥平面APC.
又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA＝2AB＝2， ∴AC＝2AB＝2，CD＝
＝23.
tan 30°
AC1111123
∴VP-AEC＝VE-PAC＝VF-PAC＝VP-ACF＝××S△ACD·PA＝×××2×23×2＝.
323223
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