浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．集合P?{xx?R,x?1?1}，Q?{xx?R,x?a?1},且P?Q??,则实数a取值范围为（ ）
A. a?3 B. a??1. C. a??1或 a?3 D. ?1?a?3
答案 C P?{x0?x?2},Q?{xa?1?x?a?1},要使P?Q??，则a?1?2或
a?1?0。解得a??1或 a?3。
2． 若?,??R, 则????90是sin??sin??1的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 若??0,??90?sin??sin??1。
当????60?sin??sin??3?1，但????90。
3．已知等比数列{an}：a1?3,且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）
A. 3981 B. 3781 C. 39 D. 33 答案 B 计算得q?3,a3?3781。
4. 已知复数z?x?yi(x,y?R,i为虚数单位），且z2?8i，则z?（ ） A.z?2?2i B. z??2?2i C. z??2?2i,或z?2?2i D. z?2?2i,或z??2?2i 答案 D
5. 已知直线AB与抛物线y2?4x交于A,B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C0A?C0B?min{CA?CB}，则下列一定成立的是（ ）。 A. C0M?AB B. C0M?l,其中l是抛物线过C0的切线 C. C0A?C0B D. C0M?答案 B
CA?CB?(CM?AM)?(CM?BM)?CM?CM(AM?BM)?AM?BM
1
2271AB 2
?CM?AM?min{CA?CB}?CM22min?CM?l。
6. 某程序框图如下，当E?0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25
开 始 K=1，S=0 S=S+1/（K(K+1)） S>=E？ 是 否 K=K+1 输出K ,答案 C S?11??1?22?3?11?1??0.96?k?24.
k?(k?1)k?1
7. 若三位数abc被7整除，且a,b,c成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。
A.4 B. 6 C. 7 D 8
答案 D 设三位数为(b?d)b(b?d)?111b?99d(0?b?9,?9?d?9,d?0),由
7(111b?99d)?7(b?d)?b?1,d??1;b?2,d??2;b?3,d??3;b?4,d?3,?4;
b?5,d?2;b?6,d?1;b?8,d??1。所以，所有的三位数为 210,420,630,147,840,357,567,987
8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A.33 B.
1
339393 C. D. 224
3 2
1
1
2 3 2
正视图：上下两个 正方形 侧视图 1
俯视图：边长为2的
正三角形
答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。 9. 设函数f(x)?x(x?1)2(x?2)3(x?3)4，则函数y?f(x)的极大值点为（ ） A.x?0 B. x?1 C. x?2 D. x?3
答案 B 由图象可知x?1为函数极大值点，x?3是极小值点，x?0,2不是极值点。
10. 已知f(x),g(x),h(x)为一次函数，若对实数x满足
??1,x??1?f(x)?g(x)?h(x)??3x?2,?1?x?0，则h(x)的表达式为（ ）。
??2x?2,x?0?11A.h(x)?x? B.h(x)??x?
2211C.h(x)??x? D.h(x)?x?
22?2x?2?(?1)1??x?。 答案 C h(x)?22二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）
111. 若tanxtany?2,sinxsiny?，
3则x?y?_______2k???3__________。
1
111解答：由tanxtany?2,sinxsiny??cosxcosy??cos(x?y)?，所以
362x?y?2k???3。
12. 已知f(x)?x2?(k?1)x?2，若当x?0时f(x)恒大于零，则k的取值范围为______(??,22?1)_______ 。
22解答 由x2?(k?1)x?2?0?k?1?x?,x??22等号在x?2取得，即
xxk?22?1。
13. 数列{nn},n?1,2,解答 f(x)?x?e1x1lnxx，则数列中最大项的值为______33________。
?f/(x)?x(1?lnx)?x?e为极大值点，所以数列最大2x1x项为第三项，其值为33。
14. 若x,y?R，满足2x?2x2y2?2y(x?x2)?x2?5，则x?3,解答 把等式看成关于x的一元二次方程
y??2。
32??4(y?1)2?20(2y2?2y?1)?0?(3y?2)2?0?y??,x?3。
315. 设直线l与曲线y?x3?x?1有三个不同的交点A,B,C,且AB?BC?5,则直线l的方程为_____y?2x?1____________。
解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为y?kx?1,A(x,y)，则
?y?kx?1??3?(k?2)(k2?k?2)?0?k?2。所求直线方程为y?2x?1。 ?y?x?x?1?22??x?(y?1)?511?2)}?_______32_________________。 2ab11112解答 max{a,b,2?2}?m?a?m,b?m,2?2?m?m?2?m?32，所以
ababm11min{max(a,b,2?2)}?32。
ab16. 若a?0,b?0,则min{max(a,b,17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限x,y轴上的整点），其运动规律为(m,n)?(m?1,n?1)或(m,n)?(m?1,n?1)。若该动点从原点
1
出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________9_________种不同的运动轨迹。
1?9. 解答 C62?C6三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 18. 已知抛物线y2?4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P,Q, 两点。证明，存在唯一一点K，使得
1PK2?1KQ2为常数，并确定K点的坐标。
解答 设K（a,0），过K点直线方程为y?k(x?a)，交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组
?y2?4x2(ak2?2)222222…5分 ?kx?2(ak?2)x?ak?0?x1?x2?,xx?a?122k?y?k(x?a)2……………………………………7分 ?PK2?(x1?a)2?y12,KQ2?(x2?a)2?y2a1?k211???222，……………………………………………………1222a(1?k)PKKQ分 令a?2?111??,K(2,0)。…………………………………………17分 224PKKQ19. 设二次函数f(x)?ax2?(2b?1)x?a?2(a,b?R,a?0)在[3,4]上至少有一个零点，求a2?b2的最小值。
解法1 由已知得，设t为二次函数在[3,4]上的零点，则有at2?(2b?1)t?a?2?0，变形
(2?t)2?[a(t2?1)?2bt]2?(a2?b2)((t2?1)2?t2)?(a2?b2)(1?t2)2，……5分
t?2211于是a2?b2?(，……………………………12分 )??51?t21002(t?2??4)t?2523,t?[3,4]是减函数，上述式子在t?3,a??,b??时取等号，因为t?2?t?22550故
a2?b2的最小值为
1。………………………………………………………………17分 1001
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