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,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
第I卷(选择题)
一、单选题
1.已知集合M?x?4?x?2,N?{xx?x?6?0?,则M?N=
2??A.{x?4?x?3? B.{x?4?x??2? C.{x?2?x?2? D.{x2?x?3?
2.设复数z满足z?i=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
A.(x+1)2?y2?1 B.(x?1)2?y2?1 C.x2?(y?1)2?1 D.x2?(y+1)2?1
0.20.33.已知a?log20.2,b?2,c?0.2,则
A.a?b?c B.a?c?b C.c?a?b D.b?c?a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5?12(5?1≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体25?1.若某人满足上述两个黄金分割2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm
5.函数f(x)=
sinx?x在[—π,π]的图像大致为 2cosx?x
B.
A.
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C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A.
5 16B.
11 32C.
21 32D.
11 167.已知非零向量a,b满足A.
π 6a=2b,且(a–b)?b,则a与b的夹角为
C.
B.
π 32π 3D.
5π 618.如图是求2?112?2的程序框图,图中空白框中应填入
A.A=
1 2?AB.A=2?1 AC.A=
1
1?2AD.A=1?1 2A9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4?0,a5?5,则 A.an?2n?5
an?3n?10 B. 2C.Sn?2n?8n
D.Sn?12n?2n 210.已知椭圆C的焦点为F1(?1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若
..
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│AF││F2B││AB│?│BF│,2?21,则C的方程为
x2A.?y2?1
2x2y2B.??1
32x2y2C.??1
43x2y2D.??1
5411.关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(
?,?)单调递增 2③f(x)在[??,?]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,PB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 A.86?
B.46?
C.26?
D.6?
第II卷(非选择题)
13.曲线y?3(x2?x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________.
14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1?,a4?a6,则S5=____________. 15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.
132x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C
abC的离心率为的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A?AB,F1B?F2B?0,则____________.
2217.B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB?sinC)?sinA?sinBsinC. VABC的内角A,
uuuruuuruuuruuur(1)求A;
(2)若2a?b?2c,求sinC.
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18.如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 19.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
3的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交2uuuruuur(2)若AP?3PB,求|AB|.
20.已知函数f(x)?sinx?ln(1?x),f?(x)为f(x)的导数.证明:
(1)f?(x)在区间(?1,?2)存在唯一极大值点;
(2)f(x)有且仅有2个零点.
21.为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得?1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得?1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0?0,p8?1,
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pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7),其中a?P(X??1),b?P(X?0),c?P(X?1).假设??0.5,??0.8.
(i)证明:{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
?1?t2x?,??1?t2在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(t为参数),以坐标原点O为
?y?4t?1?t2?极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0.
(1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 23.[选修4-5:不等式选讲]
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)
111???a2?b2?c2; abc333(a?b)?(b?c)?(c?a)?24 (2)
参考答案
1.C 【解析】 【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题. 【详解】
由题意得,M?x?4?x?2,N?x?2?x?3,则
????M?N??x?2?x?2?.故选C.
【点睛】
不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.
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2019年高考全国1卷理科数学试题及答案
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