最小二乘估计理论及算法在测量平差中的应用
一、最小二乘估计理论及算法
从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点(xi,yi)(i=0,1,…,m)误差
ri?p(xi)?yi(i=0,1,…,m)
riri?p(xi)?yi(i=0,1,…,m)绝对值的最大值max0?i?m，即误差 向量
mr?(r0,r1,?rm)T的∞—范数；二是误差绝对值的和
?ri?0i，即误差向量r的1—范
数；三是误差平方和i?0的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和i?0体大小。
首先介绍一些基本概念 （1）残差
设 计值。将
?rm2i?rm2ir来 度量误差i(i=0，1，…，m)的整
是被解释变量的第 次样本观测值， 与
之间的偏差记作
是相应的第 次样本估
（1）
称 为第 次样本观测值的残差。
（2）最小二乘准则
使全部样本观测值的残差平方和达到最小，即
来确定未知参数
（3）最小二乘估计量 未知参数 的计算公式为
估计量的准则，称为最小二乘准则。 的最小二乘估计量
（2） 最小二乘估计量的推导 设残差平方和 其中
1
它是
阶残差列向量。
为了得到最小二乘估计量
，我们对上式进行极小化
移项后，得正规方程组
的最小二乘估计量
（4）
根据基本假定5.，
式
的无偏估计量
存在，用 左乘正规方程组两边，得
随机误差项 的方差 的无偏估计量为
（3） 称作回归估计的均方误差，而
（4） 称作回归估计的标准误差。 （5） 其中， 上对应的第
（6） 则每个
标准差的估计量为
2
的方差
（5）
，于是每个
的方差为
，而
个元素， 方差的估计量
。
是矩阵
对角线
方差的估计量为
（6）
方差的估计量为
，
（7）
， （8）
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (xi,yi) (i=0,1,…，m)，在取定的函数类?中,求p(x)??,使误差ri?p(xi)?yi(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
i?0?r??p(x)?y?2imm2=i?0ii?min
从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi,yi)(i=0,1,…,m)的距离平方和为最
y?p(x)（图1）。函数p(x)称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
?可有不同的选取方法.
图1
（二） 多项式拟合
假设给定数据点(xi,yi)(i=0,1,…,m)，?为所有次数不超过n(n?m)的多项式构成的函数类，现求一
m
pn(x)??akxk??k?0n,使得
2I???pn(xi)?yi?i?02?n?????akxik?yi??mini?0?k?0? (9)
m当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（9）的pn(x)称为最小二乘
拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然
为a0,a1,?an的多元函数，因此上述问题即为求I?I(a0,a1,?an)的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得
mn?I?2?(?akxik?yi)xij?0,j?0,1,?,n?aji?0k?0 (10)
即
i?0k?0I??(?akxik?yi)2mn?(?xk?0i?0nmj?ki)ak??xijyi,i?0mj?0,1,?,n (11)
（3）是关于a0,a1,?an的线性方程组，用矩阵表示为
3
??m?1?m?xi??i?0???m??xin??i?0?x?xi?0i?0mmi2i??xi?0mn?1i??m???x?y??i?ai?0??i?0?0?m?mn?1??a???xi?1???xiyi???i?0??i?0???????????a?m?mn2n??n???xiyi???xi????i?0? (12) i?0?nim式（11）或式（12）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（12）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（12）中解出ak(k=0,1,…，n)，从而可得多项式
(13)
可以证明，式（13）中的pn(x)满足式（1），即pn(x)为所求的拟合多项式。我
k?0pn(x)??akxkn们把i?02??p(x)?y?niim称为最小二乘拟合多项式
r22mi?0pn(x)的平方误差，记作
2???pn(xi)?yi?m
由式(11)可得
r22??y??ak(?xikyi)2ii?0k?0i?0mn (14)
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
(2) 列表计算i?0和i?0(3) 写出正规方程组，求出a0,a1,?an；
pn(x)??akxkn?xmji(j?0,1,?,2n)?xmjiyi(j?0,1,?,2n)；
k?0(4) 写出拟合多项式。
在实际应用中，n?m或n?m；当n?m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。
二、测量平差的主要公式及方法概述 本文采用的平差方法主要是间接平差。在间接平差中,它的函数模型为:$=BX
-l,随机模型为: ，法方程为: 平差值方程的矩阵形式为:L+V=BX^+d 在间接平差中各向量的关系式为:
4
按协因数传播律,可得L、X^、V及相互间的协因数阵:
再计算L^的自协因数阵以及它和L、X^、V间的互协因数阵:
以上是间接平差协因数阵的解算过程。
对于任意控制网,采用间接平差,选择待定点的坐标为参数时,对该网进行最小二乘法平差计算的步骤为:
(1)计算各待定点的近似高程。
(2)根据近似高程和已知点高程列出误差方程的系数和常数项,并组成误差方程。
(3)组成法方程后,求解,计算改正数并求得平差值。
(4)按照组方程列出的协因数阵所示,分析点位平差值之间的相对精度。 三、实例分析
矿区开采对矿区地形有着明显的变形影响，为了了解矿区开采对地面的影响,本文以菏泽某矿的一观测墩开采过程中先后采集的若干个水准监测点数据为依据,经过平差方法处理后作比较,以监测的区域范围作为特征区域分析该区的地形沉降变化。
1、 仪器选择以及检测精度
本次监测中所用的还是常规测量仪器,以水准仪为主,沉降基准点点位高程用GPS测出。顾及本次监测的特点及所需数据精度,监测精度须满足三、四等水准测量要求,填数据的表格如表1所示,精度要求如表2和表3所示。
表1 数据表格 测后下丝 前下丝 方向 K 备标尺读数 高差 站尺 上丝 尺 上丝 及 +黑 注 编尺号 —红 后距 前距 黑面 红面 中数 号 视距差d ∑d 后 5
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