高 等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分 §10-3 三重积分（一）
1、 掌握三重积分的定义、性质
课 型
理论课
教学目的 重
2、 掌握直角坐标下三重积分的计算方法 3、 掌握柱面坐标下三重积分的计算方法
点
直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法） 直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）
难 点
参考书目
同上 教 具
教学后记
教
学 过 程
（一）、复习上节内容 （二）、讲授
§10-3 三重积分（一）
一、三重积分的概念
1．三重积分的定义
2．三重积分的存在定理
3．三重积分的物理意义
二．三重积分的计算法
1、利用直角坐标计算三重积分
2、利用柱面坐标计算三重积分
（ 1）三重积分
f ( x, y, z)dv 在柱面坐标系中的计算公式
（ 2）用柱面坐标 r , , z 表示积分区域
的方法
（三）、 本次课内容小结 （四）、布置作业
21
§10-3 三重积分的概念及其计算法
一、三重积分的概念
1．三重积分的定义
设 f ( x , y, z) 是 空 间 闭 区 域 上 的 有 界 函 数 , 将 任 意 地 分 划 成 n 个 小 区 域
任取一点 ( i ,
v1 , v2 , ,
,
i
v
n ，其中 vi 表示第 i 个小区域 , 也表示它的体积。在每个小区域
vi 上
i ) , 作乘积 f (
i i
,
, i
n
0
) v
n
i
，作和式
i 1
f ( i , i , i ) v i ，以 记这 n
个小区域直径的最大者
, 若极限
lim
i 1
f ( i , i , i )
vi 存在 , 则称此极限值为函数
f ( x , y, z) 在区域
上的三重积分 , 记作
n
f ( x , y, z)dv ,
i i i
即
f ( x, y, z)dv = lim 0 i 1
f (
,,) vi .
其中 dv 叫体积元素。
自然地 , 体积元素在直角坐标系下也可记作成
dxdydz 。
2．三重积分的存在定理 若函数在区域上连续 , 3．三重积分的物理意义
则三重积分存在。
如果 f ( x , y, z) 表示某物体在 ( x , y, z) 处的质量密度 ,
是该物体所占有的空间区域 ,
n
且 f ( x, y, z) 在
上连续 , 则和式
i 1
f ( i , i , i ) vi 就是物体质量 m 的近似值 , 该和 m 。
式当 故
0 时的极限值就是该物体的质量
m f ( x, y, z)dv 特别地 , 当 f ( x , y, z) =1 时,
dv
为体积 .
二．三重积分的计算法
22
计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分。
1．利用直角坐标计算三重积分 假设积分区域
的形状如下图所示 .
在 xoy 面上的投影区域为 D xy , 过 D xy 上任意一点 , 作平行于 z轴的直线穿过
亦即 ,
的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。 内部 , 与 边界曲面相交不多于两点。
S1 : z z1( x, y) ,
S2 : z z2( x, y )
其中 z1( x, y) ,
z( x, y)2 在 D xy 上连续 , 并且 z1( x, y) z2 ( x, y) 。
图 10-3-1
如何计算三重积分
f ( x, y, z)dv 呢?
不妨先考虑特殊情况
f ( x , y, z) =1, 则
dv dxdydz
D xy
z2( x, y ) z1( x, y ) d
z2 ( x, y)
dv
即
一般情况下 , 类似地有
dxdy
D xy
dz
z1 (x , y )
z2 ( x, y )
dv
z2 ( x, y)
dxdy D
xy
f ( x, y, z) dz
z1 ( x, y )
显然积分
z1 ( x , y)
f ( x , y, z)dz只是把 f ( x , y, z) 看作 z 的函数在区
间
[ z1 ( x, y), z2 ( x , y)] 上
对 z求定积分 , 因此 , 其结果应是 x, y 的函数 ,
记
z2 ( x, y )
F ( x, y) f ( x, y, z) dz
z1 ( x , y )
那么
f ( x , y, z)dv
D xy
F ( x , y)dxdy
23
如上图所示 , 区域 D xy 可表示为
a x b , y1( x ) y
从而
D
y2( x)
F ( x , y)dxdy
xy
b
a
dx
y2 ( x , y)
y1 ( x , y)
F ( x, y)dy
综上讨论 , 若积分区域 可表示成
a x
b , y1( x) y y2( x) , z1( x, y ) z
b z2(x, y)
则
f ( x, y, z)dv
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
dy
z2 ( x , y ) z1 ( x, y)
f ( x , y, z)dz
a
这就是三重积分的计算公式 三次积分。
, 它将三重积分化成先对积分变量
z , 次对 y , 最后对 x 的
如果平行于
z 轴且穿过
内部的直线与边界曲面的交点多于两个
1
, 可仿照二重积分 上的三重积分化为各
计算中所采用的方法 , 将 部分区域 (
剖分成若干个部分 ,( 如
,
2 ), 使在
1 2 ) 上的三重积分 , 当然各部分区域 (
,
1 , 2 ) 应适合对区域的要求。 例 1 计算三重积分分 xdxdydz，其中 是由三个坐标平面及平面 x 2 y z 1
所围成的空间区域。 [ 1 ]
48 例 2 计算三重积分
zdxdydz，其中 是由椭球面 2
x2 a2
间区域。（先二后一）。 [
4
yb2
2
z2
1 所围成的空
c2
abc]
15
2．利用柱面坐标计算三重积分
对于某些三重积分 , 由于积分区域和被积函数的特点 , 往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
（一） . 柱面坐标
设 M ( x , y, z) 为空间的一点 , 该点在
xoy 面上的投影为 p , p 点的极坐标为 r , , 则
r , , z 三个数称作点 M 的柱面坐标。 24
图 10-3-2
规定 r , , z的取值范围是
0 r
， 0 2
，
z
柱面坐标系的三组坐标面分别为
r =常数 , 即以 z 轴为轴的圆柱面；
=常数 , 即过 z 轴的半平面；
z =常数 , 即与 xoy 面平行的平面。
点 M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
x z
r cos
y r sin z
(1)
（二） . 三重积分
f ( x, y, z)dv 在柱面坐标系中的计算公式
图 10-3-3
用三组坐标面 r =常数 ,
=常数 , z =常数 , 将
分割成许多小区域 , 除了含 的边界点
的一些不规则小区域外
, 这种小闭区域都是柱体。
考察由 r , , z 各取得微小增量 dr , d , dz 所成的柱体 , 该柱体是底面积为
rdrd , 高为
dz 的柱体 , 其体积为 dv rdrd dz 这便是柱面坐标系下的体积元素
25
, 并注意到 (1) 式有
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