图 10-2-4
图 10-2-5
显然 ,(2) 式是先对 x , 后对 y 的二次积分。
2．二重积分化二次积分时应注意的问题
（1） . 积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点 对于 I 型 ( 或 II 型 ) 区域 , 内部 , 直线与区域的边
用平行于
:
y 轴( x 轴 ) 的直线穿过区域
界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时
, 可对区域进行剖分 , 化归为 I 型 ( 或 II 型 ) 区域的并
集。
（2） . 积分限的确定
二重积分化二次积分 , 确定两个定积分的限是关键。这里
, 我们介绍配置二次积分限的
方法 --
几何法。
画出积分区域
D 的图形 ( 假设的图形如下 )
图 10-2-6
在 a, b 上任取一点
x , 过 x 作平行于 y 轴的直线 , 该直线穿过区域 D , 与区域 D 的边界有两个
x , 看作常数而对
交点 ( x, 1 ( x)) 与 (x, 2 ( x)) , 这里的 1 ( x) 、 2 ( x) 就是将
y
积分时的下限和上限； 又因 x 是在区间 a, b 上任意取的 , 所以再将 x 看作变量而对 x 积
分时 , 积分的下限为 a 、上限为 b 。
例 1. 计算 I
x yd , 其中 D 是直线 y ＝ 1, x ＝2, 及 y＝ x 所围的闭区域 .
D
11
（可用 X–型区域， Y–型区域分别求解） [ ]
D
9 8
例 2. 计算
2 d , 其中 D 是抛物线 x yyx 及直线 y x 2 所围成的闭区域 .
（先对 x 后对 y
积分） [
45
]
例 3. 计算
D
sin xx
8 dxd y, 其中 D 是直线 y x, y 0, 所围成的闭区域 .[ 2 ]
（先对 y 后对 x
积分）
例 4. 交换下列积分顺序
2 0
8 y2 y
2
I
2 0
d x 2 f ( x, y)d y
0
x
2
2 2 2
d x
8 x0
2
f (x, y)d y
关键画图 [d y f ( x, y)d x ]
例 5. 计算 I
x ln( y D
1 y2 )d xd y , 其中 D 由 y
4 x2 , y3x, x 1所围成 .
关键：画图，切割积分区域，利用对称性 [ 0 ]
3．求体积
思考 例 6. 求由曲面 z
222x 2 y 及 z 6 2x
2
y 所围成的立体的体积。
解
1. 作出该立体的简图 , 并确定它在 xoy 面上的投影区域
图 10-2-7
消去变量 z 得一垂直于 xoy 面的柱面 x2
y2
2 , 立体镶嵌在其中 , 立体在 xoy 面的投
影区域就是该柱面在
xoy 面上所围成的区域
2D: x
2y
2
2. 列出体积计算的表达式
V
2 22
[ ( 6 2xy) (x
D
2
2 y ) ]d
D
( 6 3 x
2
3 y ) d 33. 配置积分限 , 化二重积分为二次积分并作定积分计算
12
图 10-2-8
V 6 d
3 x 2d
3 y 2 d
D D
D
而d 2
D
由 x, y 的对称性有
x2d
y2 d
D
D
x2
2
d
x2
2 x 2 dx
dy 2 x2
2
2 x2
dx
D
2
2
x2 2
2
2
4 x2
2 x2 dx
4 4 sin 2 cos
2
d
0
0
16
(2
1)!!( 2 1)!! 16 1 1
(2 2)!! 2 4 2 2
所求立体的体积为
V 12
6 6
4．更换积分次序
练习 1
1 1 x 改变积分
dx
f ( x, y) dy 的次序 .[ 1
dy
1 y f (x, y)dx
]
0
0
0
0
练习 2
1
2 x x
2
改变积分
dx
f ( x, y)dy
2 dx
2 x f ( x, y)dy 的次序
.
0
0 1
0
1
dy
2 y
[ 2 f ( x, y)dx ]
0
1 1 y
2a
练习 3
改变积分
dx 2 ax 2 f (x, y)dy (a 0) 的次序 .
0
2ax x
a
a a2
y
2
a
2a
2 a 2 a
[ 0 dy y
2
f ( x, y)dx
0 dy aa2 y2 f ( x, y)dx a
dy y2 f ( x, y)dx. ]
2a
2 a
练习 4
求
(x2
y)dxdy ，其中 D 是由抛物线 y x2 和 x y2 所围平面闭区域
D
13
33 ] 140
. [
练习 5 求
x2 e yD
2 dxdy，其中 D 是以 (0,0),(1,1), (0,1) 为顶点的三角形 . [ (1 ) ] 6
12e
1
练习 6
x
计算积分 I12 dy 1 e dx
4
2
y
y
1
1
y y
y
dy
ex dx . [ 3 e 1 e ] 8
2
2
小结：二重积分计算公式
作业
直角坐标系下f (x, y) dxdy
D
f (x, y) dxdy
D
习题 10-2（P154）
基础题： 2 (1),(4); 3; 4 (3);7; 10 提高题： 6 (4); b dx
a
d dy
c
2 ( x)
f ( x, y)dy
1 ( x)
2 ( y ) f (x, y) dx
1 ( y)
X—型 Y—型
14
高 等 数
学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-2 二重积分的计算法（二） 掌握二重积分的计算方法（极坐标） 。 二重积分的计算方法
课 型
理论课 教学目的 重
点 点
难
二重积分的计算方法
参考书目
同上《高等数学习题集》 教 具
教学后记
教
学 过 程
（一）、复习上节内容 （二）讲授
§ 10-2 二重积分的计算法 (二)一、利用极坐标计算二重积分
1. 变换公式
2. 极坐标下的二重积分计算法 3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则二、例题
（三）、 本次课内容小结 （四）、布置作业
15
(完整word)高数教案第十章重积分.doc
