特别地 , 由于
f x, y f x, y f x, y ，有
f ( x, y)d
D
D
f ( x, y) d
5. 估值不等式
设 M 与 m 分别是 f
x, y 在闭区域 D 上最大值和最小值 , 是 M 的面积 , 则
m
D
f ( x, y)d M
6. 二重积分的中值定理
设函数 f 得
x, y 在闭区域 D 上连续 , 是 D 的面积 , 则在 D 上至少存在一点 ,
, 使
f (x, y) d
D
f ( , )
7 、对称性（偶倍奇零）
设函数 f x, y 在闭区域 D 上连续 , D 关于 x
D
轴对称 , D
位于 x 轴上方的部分为
D1 , 在 D 上
(1) f ( x , y)
f ( x, y), 则
f ( x, y)d
2
D1
f ( x, y)d
(2) f (x ,
y)
f ( x, y), 则
D
f (x, y)d
0
当区域关于 y 轴对称 , 函数关于变量 x 有奇偶性时 , 仍有类似结果 .
例 1 比较下列各对二重积分的大小 （1）
D
(x y)2 d
与
D ( x y)3 d ，其中 D : (x 2) 2 ( y 1)2
2 。
（ 2 ）
D
ln( x y)d
与 D [ln( x y)] 2 d ， 其 中 D 是 三 角 形 区 域 ， 三 顶 点 分 别 为
(1,0),(1,1),(2,0) 。
例 2 判断积分
2
y
2
3 1 x2 y2 d x d y 的正负号 .[ 负 ]
x 4
例 3
估计下列积分之值
I
d x d y
22
100 cos x cosy D
D : x y 10 [1.96
I
2]
三、二重积分的几何意义
6
1．若 f (x, y) 0 ，
f ( x, y)d 表示曲顶柱体的体积 D
2．若 f (x, y) 0 ，
f ( x, y)d
表示曲顶柱体的体积的负值
D
3．
f (x, y)d 表示曲顶柱体的体积的代数和
D
例 4. 求两个底圆半径为
R 的直角圆柱面所围的体积
.[
16
R3 ]
3
小结： 二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；
二重积分的性质。
作业：习题 10-1（ P136）基础题： 4(1) ;5(1)
7
高 等 数 学 教 案
第十章 重积分
章节题目
课 型
理 论 课
§10-2 二重积分的计算法（一）
教学目的
深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧
熟练掌握二重积分计算 对积分区域的划分
重
难
点
点
参考书目 教学后记
同上
本节内容掌握的不够理想。
教
学
过
程
教 具
（一）、复习上节内容 （二）讲授
§ 10-2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分
1、 x -型区域， y -型区域。
2、二重积分化二次积分时应注意的问题
3．求体积
4．更换积分次序
（四）、 本次课内容小结 （五）、 布置作业
8
§10-2 二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的
, 二重积分的计算是通过两个定
积分的计算 ( 即二次积分 ) 来实现的。
一、 利用直角坐标计算二重积分
１、 x -型区域， y -型区域
我们用几何观点来讨论二重积分
D
f x, y d 的计算问题。
讨论中 , 我们假定 f x, y 0 ；
假定积分区域 D 可用不等式
a x b
1( x)
y 2 (x) 表示 ,
其中 1 x , 2 x 在 a, b 上连续。
图 10-2-1
据二重积分的几何意义可知 ,
D
图 10-2-2
f x, y d 的值等于以
D 为底 , 以曲面 z f x, y
为顶的曲顶柱体的体积。
图 10-2-3
在区间
a,b 上任意取定一个点
x0 , 作平行于 yoz 面的平面 x x0 , 这平面截曲顶柱体 所得截面是一个以区间1 x0 , 2 积为
x0 为底 , 曲线 z
2 f x0 , y 为曲边的曲边梯形 , 其面
x0 x0
A x0
f x0 , y dy
1 9
公式 (1) 。但实际上
一般地 , 过区间 a,b 上任一点 x 且平行于 yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
A x2
x
1 x
f x, y dy
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法
, 该曲顶柱体的体积为
b
b
2 ( x )
V
A( x )dx f ( x , y ) dy dx a
a
1( x )
从而有
b
2 ( x)
f ( x, y) d
f ( x, y ) dy dx
D
a
1( x) (1)
上述积分叫做先对
Y , 后对 X 的二次积分 , 即先把 x 看作常数 , f ( x, y) 只看作 y 的函数 , 对 f ( x , y) 计算从
(x)
1
到
( x)2 的定积分 , 然后把所得的结果 ( 它是 x 的函数 ) 再对x 从 a 到 b计算定积分。
这个先对 y , 后对 x 的二次积分也常记作
b
2 ( x)
f ( x, y)d dx
f ( x, y) dy D
a
1 ( x)
在上述讨论中 , 假定了
f x, y 0 ，利用二重积分的几何意义 , 导出了二重积分的计算
, 公式 (1) 并不受此条件限制 , 对一般的 f ( x, y) ( 在 D 上连续 ), 公式 (1)
总是成立的。
类似地 , 如果积分区域
D 可以用下述不等式
c y d , 1( y) x2 ( y) 表示 , 且函数
1( y) , 2( y )在 [ c , d ]上连续 , f x, y 在 D 上连续 , 则
d
2 ( y )
d
2 ( y )
f ( x, y ) d
f ( x, y ) dx dy
dy
f ( x, y ) dx
D
c
1 ( y )
c
1 ( y )
(2)
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