高
等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-1 二重积分的概念及性质
课 型
理论课 教学目的 重
理解二重积分的概念，了解二重积分性质。 二重积分的概念，性质
点 点
难
如何运用二重积分的性质去解决问题
同上
参考书目 教学后记
教 具
教 学 过 程
（一）、复习上节内容 （二）、讲授
§10-1 二重积分的概念及性质
一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 2. 平面薄片的质量 （二）二重积分的定义 1．定义： 2. 几个事实
二、二重积分的性质 三、二重积分的几何意义
（三）、 本次课内容小结 （四）、布置作业
1
第十章 重积分
§ 10-1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
（一）引例
1. 曲顶柱体的体积
设有一空间立体
, 它的底是 xoy 面上的有界区域
D , 它的侧面是以 D 的边界曲线为
准线 , 而母线平行于 z 轴的柱面 , 它的顶是曲面 z f ( x.y) 。
当 ( x, y) D 时 , f ( x, y) 在 D 上连续且 f ( x, y) 0 曲顶柱体的体积 V 可以这样来计算 :
, 以后称这种立体为曲顶柱体。
(1) 用任意一组曲线网将区域
D 分成 n 个小区域 ， 1 2 ，L ，
n ，以这些小区域的
边界曲线为准线 , 作母线平行于 z 轴的柱面 , 这些柱面将原来的曲顶柱体 顶柱体
1 ，
分划成 n 个小曲
2 ， L ，
n 。
（假设
i 所对应的小曲顶柱体为 i , 这里
i 既代表第 i 个小区域 , 又表示它的面积值 ,
i 既代表第 i 个小曲顶柱体 , 又代表它的体积值。 )
图 10-1-1
从而 V
n
(
i
i 1
将 化整为零 )
(2) 由于 f ( x, y) 连续 , 对于同一个小区域来说
, 函数值的变化不大。因此 , 可以将小曲顶柱
2
体近似地看作小平顶柱体 , 于是
i
( 以不变之高代替变高 , 求
(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为
f ( i i )
i
(
( i i )
i
)
i 的近似值 )
n
V
f (
i i )
i
i
1
(4) 为得到 V 的精确值 , 只需让这 n个小区域越来越小
, 即让每个小区域向某点收缩。为此 ,
我们引入区域直径的概念
:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小
, 意指让区域的直径趋向于零。 , 则
设 n 个小区域直径中的最大者为
n
V
2. 平面薄片的质量
lim
0 i 1
f (
i
,
i
)
i
设有一平面薄片占有
xoy 面上的区域 D , 它在 x, y 处的面密度为
M 。 x, y , 这里
x, y 0 , 而且 x, y 在 D 上连续 , 现计算该平面薄片的质量
图 10-1-2
将 D 分成 n 个小区域
1 ， 2 ， L ， n ，用 i 记 i 的直径 ,
i 既代表第 i
个小区域又代表它的面积。
当
max i 很小时 , 由于 x, y 连续 , 每小片区域的质量可近似地看作是均匀
1 i n
的, 那么第 i 小块区域的近似质量可取为
( i , i )
i
( i , i )
i
3
n
于是
M
i 1
( i ,
n
i )
i
M lim
0
( i , i )
i
i 1
两种实际意义完全不同的问题
, 最终都归结同一形式的极限问题。 因此 , 有必要撇开这
类极限问题的实际背景 , 给出一个更广泛、更抽象的数学概念 , 即二重积分。 （二） 二重积分的定义
1．定义：设
f x, y 是闭区域 D 上的有界函数 , 将区域
D 分成个小区域
1
,
2
, ,
n
,
其中 ,
i 既表示第 i 个小区域 ,
也表示它的面积 , i 表示它的直径。
max{
}
1 i n i
( i , i )i 作乘积 f ( i , i )
i
(i 1,2L , n)
n
作和式
f ( i , i )
i
i 1
n
若极限 lim
fi ,
ii 存在 , 则称此极限值为函数
f x, y 在区域 D 上的二重积分0 i 1
记作
f x, y d 。 D
n
即
f x, y dlim
f
i ,
i
i
D
0
i 1
其中 :
f x, y 称之为被积函数 , f
x, y d 称之为被积表达式 , d 称之为面积元素 ,
n
x, y 称之为积分变量 , D 称之为积分区域 ,f i , i
i
称之为积分和式。
i 1
2． 几个事实
(1) 二重积分的存在定理
若 f
x, y 在闭区域 D 上连续 , 则 f x, y 在 D 上的二重积分存在。 声明 : 在以后的讨论中 , 我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)f x, y d 中的面积元素 d
象征着积分和式中的
i 。
D
4
,
图 10-1-3
由于二重积分的定义中对区域
D 的划分是任意的
, 若用一组平行于坐标轴的直线来划
分区域 D , 那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外 以将 d
, 绝大多数的小区域都是矩形 , 因此 , 可
记作 dxdy ( 并称 dxdy 为直角坐标系下的面积元素
), 二重积分也可表示成为
f x, y dxdy 。 D
(3) 若 f x, y 0 , 二重积分表示以 f x, y 为曲顶 , 以 D 为底的曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1. 线性性
[
D
f ( x, y ) g( x, y )]d
D
f ( x, y )d
D
g( x, y)] d
其中 :
, 是常数。
2. 对区域的可加性
若区域 D 分为两个部分区域
D1, D2 , 则
f ( x, y) d
D
f ( x, y)d
D1
D2
f ( x, y)d
3. 若在 D 上 , f x, y
1 , 为区域 D 的面积 , 则
1d
D
D
d
几何意义 : 高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4. 若在 D 上 , f x, y
x, y , 则有不等式
f ( x, y)d
D
D
( x, y)d
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