考点46 直线与曲线的最值问题——2021年高考数学专题复习真题附解析

因为t?1，所以3t??4，S??0,6?， 所以四边形AMBF1面积的最大值为6.

5．（2020·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（理））已知点M??1t?233?,??在椭圆C：33??x2y2?2?1?a?b?0?上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为22. 2ab（1）求C的方程；

（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求OA?OB的取值范围.

?45?x2【答案】（1）?y2?1；（2）??,?

2?33?【解析】（1）由条件知

41??1，2a?22，所以a?2，b?1， 3a23b2x2∴椭圆C的方程为?y2?1.

21?x1?x2y1?y2?,B?x2,y2?， k?OM（2）设点A、则AB中点?在线段上，且，B的坐标为A?x1,y1?，?OM2?2?22?x?x2??x1?x2??y?yy?y?0，x12x222 ∴x1?x2?2?y1?y2?，又?y1?1，?y2两式相减得1?1，?12??12?222易知x1?x2?0，y1?y2?0，所以

y1?y2x?x??12??1，即kAB??1.

x1?x22?y1?y2?2x设AB方程为y??x?m，代入?y2?1并整理得3x2?4mx?2m2?2?0.

2由??83?m?2??0解得m2?3，又由

x1?x22m?2????0,，∴0?m?3. ?23?3?4m2m2?1由韦达定理得x1?x2?，xx?，

1233故OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2???x1?m???x2?m?

???2x1x2?m?x1?x2??m?24?m2?1?344m22?m2?. ??m33