考点46 直线与曲线的最值问题
21．（2020·浙江椒江台州一中高三期中）如图所示己知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F，准线为l，
过点M(1,0)的直线交抛物线C于A?x1,y1?，B?x2,y2?两点.且3OF?FM.
（1）求抛物线方程；
（2）若点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD·EF?0，求△ABD面积的最小值及此时直线
AD的方程.
【答案】（1）y2?x；（2）见解析
?p?F【解析】（1）依题意?,0?， ?2?3OF?FM ?3OF?FM即3?所以抛物线方程y?x.
2pp1?1?.即2p?1?p?. 222
(2）设D?x0,y0?，Bt,t，则E??2???1?,t?， 4???y2?x2设AB:x?my?1，联立?，y?my?1?0，y1y2??1
?x?my?1
所以可得A??11?,?? 2t??t11?1?1x?·故直线AD:y???2?. t2tt2t??因为kEF??2t，AD?EF，所以kAD??y2?x11?2y?y?2t. y?2ty?2??0yy??2?由?，得，所以，1011022tt?x?2ty?2?2?0t?所以AD?1?4t2y1?y0 ?1?4t22?y1?y0??4y1y0 ?21?4t2t2?1?2 2t设点B到直线AD的距离为d，则
t2?2t2?2?d?1?4t21t2t2??1?22t.
1?4t2所以S?usD311??2?AD?d ??t?2?2??8.当且仅当t4?1.即t??1 2t??t?1时，直线AD的方程为：x?2y?3?0. t??1时，直线AD的方程为：x?2y?3?0
1x22．（2020·浙江省春晖中学高二月考）已知点P(t,)在椭圆C:?y2?1内，过P的直线l与椭圆C相交于
22A，B两点，且点P是线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；（Ⅰ）求OAB面积S的最大值． 【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅰ) Smax?【解析】（Ⅰ）存在.
由题意直线的斜率必存在，设直线的方程
2. 2
是代入
得：
.（1）
设解得：
，，
，则，即，
此时方程（1）即由
解得，
，
（或由当当
解得，
时，显然不符合题意； 时，设直线
的斜率为
）
，只需，
即，解得，均符合题意.
（Ⅰ）由（1）知的方程是所以
，
，
，
因为，所以当时，.
23．（2020·全国高三课时练习（理））过F?0,1?的直线l与抛物线C:x?4y交于A，B两点，以A，B两
点为切点分别作抛物线C的切线l1，l2，设l1与l2交于点Q?x0,y0?. （1）求y0；
（2）过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值.
【答案】（1）y0??1； （2）32.
【解析】（1）设A?x1,y1?，B?x2,y2?，直线l:y?kx?1，
?x2?4y?x1?x2?4k 所以?得x2?4kx?4?0，所以?xx??4?12?y?kx?1由x?4y?y??211x，所以l1:y?y1?x1?x?x1?， 22x121即：l1:y?x1x?，
24x1?x2?x??2k2??0x212同理l2:y?x2x?，联立得?，
xx24?y?12??10?4?即y0??1. （2）因为QF???x1?x2?,?2?，AB??x2?x1,y2?y1?，
?2?222x2?x12x2?x12x2?x1222所以QF?AB??2?y2?y1????0，
222所以QF?AB，即MN?AB，
AB?y1?y2?2?k?x1?x2??4?4k2?4，
同理MN?4?4， 2kSAMBN?11?1???ABMN?8?k2?1??2?1??8?k2?2?2??32， 2k?k???当且仅当k??1时，四边形AMBN面积的最小值为32.
1x2y24．（2020·河南高三其他（理））设椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为e?，椭圆C上一点P到
2ab左右两个焦点F1、F2的距离之和是4. （1）求椭圆的方程；
（2）已知过F2的直线与椭圆C交于A、B两点，且两点与左右顶点不重合，若F，求四1M?F1A?F1B边形AMBF1面积的最大值.
x2y2【答案】（1）（2）6. ??1；
43【解析】
(1)因为椭圆C上一点P到左右两个焦点F1、F2的距离之和是4， 所以2a?4，a?2， 因为e?1c?，所以c?1，b2?a2?c2?3 2ax2y2所以椭圆C方程为??1.
43(2)设A?x1,y1?，B?x2,y2?，
因为直线过点F2，所以可设直线AB方程为x?my?1，
?x?my?1?2联立方程?x2y2，消去x可得：3?my?1??4y2?12，
?1??3?4化简整理得3m?4y?6my?9?0，
其中??36m?363m?4?144m?1?0，
2?2?2?2??2?y1?y2??9?6myy?，， 12223m?43m?4因为F，所以四边形AMBF1是平行四边形， 1M?F1A?F1B设平面四边形AMBF1的面积为S，
则S?2S△ABF11?2??F1F2?y1?y2?2222?y1?y2?2m2?1
，?4y1y2?24?23m?4设t?m2?1，则 m?t?1?t?1?， 所以
S?24?t3t2?1?24?13t?1， t
考点46 直线与曲线的最值问题——2021年高考数学专题复习真题附解析
