习题4
4-1．在容积V?3L的容器中盛有理想气体，气体密度为?=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。 解：根据题意，可知：P?1.78atm，P0?1atm，V?3L。
PV?1.78?3L， P0那么，逃出的气体在1atm下体积为：V'?1.78?3L?3L?0.78L，
PV'0.78?3L这部分气体在1.78atm下体积为：V''?0?
P1.78g0.78?3L则排除的气体的质量为：?m??V''?1.3??1.7g。
L1.781Vpm根据题意pV??RT，可得：pV?RT?p? RT，
Mm?M由于温度不变，∴PV?PV00，有：V0?
4-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？
解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV??RT，知两气体摩尔
mm数相同，即：?H??O，∴H?O，代入数据有：mO?1.6kg。
MHMO
4-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？
解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央，
O2N2则体积和压强相同，如图。
mO2mN2mR(T?30)?RT， 由：pV?RT，有：MO2MN2Mmol而：MO2?0.032kg，MN2?0.028kg，可得：T?30?28?210K。
30?28
74-4．高压氧瓶：p?1.3?10Pa，V?30L，每天用p1?1.0?105Pa，V1?400L，为保证瓶内p'?1.0?10Pa，能用几天？
6pV1.3?107Pa?30L??390L， 解：由pV?p'V'，可得：V'?6p'1.0?10Pa∴?V?V'?V?360L；
p'?V1.0?106Pa?360L??3600L， 而：p'?V?p1?V1，有：?V1?p1.0?105Pa3600L?9天。 那么：能用的天数为n?400L/天
?244-5．氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角的方向以105cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？
解：由：F??t?n?2mvcos450，再根据气体压强公式：p?F，有： Sp?Fn?2mvcos45??S?t?S01023?2?3.3?10?27?103?1?2?10?422?2.33?103Pa。
4-6．一容器内储有氧气，其压强p?1.0atm，温度T?300K，求容器内氧气的
（1）分子数密度；
（2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程p?nkT得：
p1.013?105n???2.45?1025/m3； ?23kT1.38?10?300（2）分子间的平均距离可近似计算：e?11?9??3.44?10m； 3325n2.45?10（3）分子的平均平动动能：??（4）分子的方均根速度：v233kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J； 22?1.73RT?482.87m?s?1。 Mmol
4-7．已知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s，当其压强为1atm时，求气体的密度。 解：∵??2mm?，由气体方程：pV?RT???p，
?VRT3p3?1.013?1053kT3RT??1.9kg/m3。 ?又∵v?，∴??2400m?(v2)2
4-8．金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为vm，电子速率在v~v?dv之间的概率为：
?Av2dv 0?v?v0dN???，式中A为常数．则电子的平均速率为多少？ N v?vm??0?dN解：由平均速率的定义：v??vf(v)dv，考虑到：f(v)dv?，
0Nvm14有：v??v?Av2dv?Avm。
04
104-9．大量粒子（N0?7.2?10个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于30m/s的分子数约为多少？（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？（3）所有N0个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？
解：根据图像信息，注意到f(v)?dN。 Ndv图形所围的面积为分子的全部数目，有：
N0?1，所以，利用 ?N014（30?120）?a?1，有：a??10?2，N0a?9.6?108。 23N（1）速率小于30m/s的分子数：N1?0?30?a?1.44?1010个；
2（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数：
101101v?N2?N0?f(v)dv?N0?(2a?a)dv?6.4?108个；
999960v1005【或：?N2?N0(2a?a)(v101?v99)?2N0a(2?)?6.4?108】
603（3）所有N0个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： f(v)dv??a(0?v?30)?30v?(30?v?60)?af(v)??
?2a?va(60?v?120)?60?0(v?120)?由平均速率定义：v??vf(v)dv，有：
060120avvdv??v?adv??v?(2a?a)dv?54m/s；
030603060（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率：
120vv(2a?a)dv]?6060v?60?120?80m/s。 v?60(2a?60a)dv]?v??v?30
4-10．在麦克斯韦分布下，（1）计算温度T1?300K和T2?600K时氧气分子最可几速率vp1和vp2；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算300K时氧分子在2vp处单位速率区间内分子数占总分子的比率。 解：根据最可几速率的定义：vp?（1）温度T1?300K：vp1?2kT?m2RT??1.414RT? 2RT???2?8.31?300?394m/s，
32?10?3T2?600K：vp2?2RT?2?8.31?600?558m/s；
32?10?3（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦分布函数：
mv?m3f(v)?()2e2kTv2
?2kTT?300K，v?394m/s代入：f(v)?0.21% T?600K，v?558m/s代入：f(v)?0.15%；
（3）计算300K时氧分子在2vp处单位速率区间内分子数占总分子的比率。
42将T1?300K，v?788m/s代入：
mv?m3()2e2kTv2?0.042%。 得：f(v)??2kT42
4-11．在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比V1/V2?1/2，则其内能之比E1/E2为多少？ 解：根据pV??RT，有：
p1V1?1T1，因题设条件为p1?p2，V1/V2?1/2，可得：?p2V2?2T2?1T1/?2T2?1/2，又∵氦气是单原子分子，知：
i15?， i23i1?1RT1515E12那么内能之比为：????。
iE22?2RT23262
4-12．水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O→H2+0.5O2，内能增加了多少？
解：水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了1.5份的双原子的内能，而水分子的自由度为6，氢气和氧气作为刚性双原子分子，其自由度均为5，利用气体内能公式：E??iRT，2556RT?0.5?RT?RT?E21.522所以内能的变化为：???25%。
6E06RT2
4-13．体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm，此时氧气的内能为多少？
解：由理想气体状态方程：pV??RT，以及双原子气体内能公式：E??可得到：E??
5RT， 2555RT?pV??2?1.013?105?20?10?3?104J。 222
思考题
4-1．气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？ 答：平衡态的特征：
（1）系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 （2）系统的宏观性质不随时间改变。
热平衡态是指：在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。
它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。
1．平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。
2．平衡态是一种理想状态。
4-2．对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别?
答：有区别。从微观上看：p?当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当w一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；
当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，w越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。
4-3．在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么? 答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；
对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；
从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；
压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。
4-4．容器内有质量为m，摩尔质量为M的理想气体，设容器以速度v作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？○1单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么? 答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。
（2）w?2nw 3313kT，温度增加多少，其速度平方的平均值也kT?mv2，所以：v2?22m做相应的增加。
（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度不会改变。
4-5．叙述下列式的物理意义：
13iimimi（2）kT；（3）kT；（4）RT；（5）（6）kT；RT；R(T2?T1). 2222M2M21答：（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为kT；
23（2）在平衡态下，分子平均平动动能kT；
2（1）
大物 上海交大课后答案 第四章
