北师大九年级数学下3.2垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

一、如何运用垂径定理：

垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质，是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系 的重要依据。在解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，以构成垂径定理的基本图形 （而实际中，往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以）。

在运用垂径定理时，涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高（弦所对的弧的中点到弦的距离）h这四者之间

a222r?d?() ，r 的关系，如图所示，它们的关系是：

2?d?h，

根据这两个公式，在a，d，r，h四个量中，知道任意两个量便可求出其他两个量。

典型中考题讲解：

1、（2014?盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，， （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径．

2、（2014?浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径 作⊙O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长．

3、（2014?金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．

4、（2014?槐荫区一模）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2． 求⊙O半径的长． 5、．（2014?天河区二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求线段AB的长．

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论：

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：①、不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、 弦、弦心距不一定相等。

②、要结合图形理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则容易用错。 ③、在应用此定理及其推论时，首先弄清楚要求证的是哪组量相等，然后只要在除该量之外的三组量 中找到一组量相等即可。

在找相等的量时有两个技巧点：1、认真分析已知条件，看哪组量相等容易找且又能使解题简单化；

2、常常通过作辅助线构造所需要的量，常作半径、弦心距。 1、如图，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=_________°．

1题图 2题图 3题图

2、如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=_________． 3．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为_________度．

三、圆周角定理：

圆周角：一个角的顶点在圆上，角的两边分别与圆还有另一个交点，这样的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

注意：此定理的作用是得到圆周角与圆心角的数量关系，但注意不能把定理中的“一条弧所对的”丢掉， 而简单的说成“圆周角等于圆心角的一半”。也不能把“一条弧所对的”改为“一条弦所对的”。因为 一条弦所对的圆周角的度数有两种情况。

圆周角定理的推论：

推论一、在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

因为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以同弧 或等弧所对的圆周角相等。

推论二、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

①、如图所示，已知AB是⊙O的直径，直径可以看成是顶点在圆心的一个平角， 也就是一个180°的圆心角。又因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半，所以∠ACB＝90°。

②、如图所示，已知∠ACB＝90°，因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半，所以∠AOB＝180°，所以AB是直径，即90度的圆周角所对的弦是直径。 ③、利用推论一：用来确定圆周角的相等关系；

利用推论二：1、得到直角，进而得到直角三角形；2、确定直径。由于直径所对的圆周角是直角， 而直角三角形在几何题中有着广泛的应用，所以利用直径构造直角三角形是一种重要的方法。

典型例题讲解：

1．（2014?黔东南州）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=°， 若CD=6cm，则AB的长为（ ）

A、4cm B、3cm C、2cm D、2cm

1题图 2题图 3题图 4题图

2、（2014?重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ A、30° B、45° C、60° D、70°

3、（2014?南昌）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）

A、40° B、45° C、50° D、55°

4、（2014?珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ） A、160° B、150° C、140° D、120°

同步练习：

1．（2014?常州模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=35°，

则∠ADC的度数为（ ）

） A、35° B、45° C、55° D、65°

1题图 2题图 3题图 4题图 5题图 2．（2014?武汉元月调考）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=40°，则∠ACB的度数是（ ） A、10° B、20° C、40° D、70°

3．（2014?遵义一模）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是（ ） A、90° B、100° C、110° D、120°

4、（2014?中江县一模）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B=（ ） A、15° B、40° C、75° D、35°

5、（2014?新泰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3cm， 则圆心O到弦CD的距离为（ ）

A、cm B、3cm C、3cm D、6cm 6、（2014?徐州二模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°． （1）求∠ABD的大小； （2）求弦BD的长．

7、（2013?长春模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为上一点，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3cm， 求△ABC的周长．

典型中考题讲解1．（2014?盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，， （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径．

讲解2、（2014?浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长．

考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．