大教育全国名校联盟2024届高三质量检测第一次联考
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上. 2.请在答题卡上作答,写在本试卷上效.
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A?x?1?x?3,B??0,1,2,3?,则AIB?( ) A. ?1,2?
B. {-1,0,1,2}
C. ?0,1,2,3?
D. ?0,1,2?
??2.若复数z满足z(1?2i)?10,则复数z在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a??,?I??b,则“a//?”是“?//b”的( ) A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.体育教师指导4个学生训练转身动作,预备时,4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是( ) A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
n5.已知等比数列?an?的各项均为正数,设其前n项和Sn,若anan?1?4(n?N?),则S5?( )
A. 30
B. 312 C. 152 D. 62
6.函数f?x??ln?x2?1?x3的大致图象是
A. B. C. D.
7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传
入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家?天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入n=10,则输出的结果是( )
1111???????) 357171111C. P?4(1????????)
35721A. P?4(1?1111???????) 357191111D. P?4(1????????)
35721B. P?4(1?8.已知等差数列?an?的前n项和为Sn,且a4??3,S12?24,若ai?aj?0(i,j?N*,且1?i?j),则i的取值集合是( ) A. ?1,2,3?
B. ?6,7,8?
C. ?1,2,3,4,5?
D. ?6,7,8,9,10?
9.若a=0.50.6,b=0.60.5,c=20.5,则下列结论正确的是( ) A. b?c?a
B. c?a?b
C. a?b?c
D. c?b?a
?0,x?1fx?10.已知函数???,若不等式f?x??x?k对任意的x?R恒成立,则实数k的取值范围是
?lnx,x?1( ) A. ???,1?
B. 1,???
?C. ?0,1? D. ??1,0?
11.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是( )
A.
1 2B.
4 5C.
3 8D.
3 4x2y212.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与双曲线C的左
ab支交于A、B两点.若AB?AF2,?BAF2?120,则双曲线C的渐近线方程为( ) A. y??o3x 3B. y??6x 2C. y???3?2x
?D. y???3?1x
?二、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分.
rrrrrrrrr13.已知i,j是夹角为90?的两个单位向量,若a?i?j,b?j,则a与b的夹角为__________.
???fx?sin(?x??)(??0,0???2?)fxfx14.若函数??满足:①??是偶函数;②??的图象关于点?,0??3?对称.则同时满足①②的?,?的一组值可以分别是__________.
15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是
2R,4R,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 316.在三棱锥P?ABC中,若PA与底面ABC所成的角为60?,PA?PC?2,BA?BC?1,?ABC?90?,则点P到底面ABC的距离是______;三棱锥P-ABC的外接球的表面积_____.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.
17.在VABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(A?B)?csin(1)求B;
(2)若VABC的面积为3,周长为8,求b.
18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%,则该养殖场考核为合格,该养殖场在2024年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示: 月份 月养殖量/千只3 1月 3 2月 4 3月 5 4月 6 5月 7 6月 9 7月 10 8月 12 A?C. 2月利润/十万元 生猪死亡数/只
3.6 29 4.1 37 4.4 49 5.2 53 6.2 77 7.5 98 7.9 126 91 145 (1)从该养殖场2024年2月到6月这5个月中任意选取3个月,求恰好有2个月考核获得合格的概率; (2)根据1月到8月数据,求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.001).
(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若9月份的养殖量为1.5万只,试估计:该月利润约为多少万元?
???中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:b??a??bx附:线性回归方程y? ??y?bxa参考数据:
?xi?182i?460,?xiyi?379.5.
i?119.在三棱柱ABC?A1B1C1中,四边形A1B1BA是菱形,AB?4,?ABB1?60?,B1C1?3,BC?AB,点M、N分别是A1B、AC1中点,且MN?AB1.
(1)求证:平面BCC1B1?平面A1B1BA; (2)求四棱锥A?BCC1B1的体积.
20.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y?2px?p?0?的焦点为F,准线为l,P是抛物线E上一
2点,且点P的横坐标为2,PF?3. (1)求抛物线E方程;
(2)过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点,过点F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M,设
的的n.,
?xyii?1ni?nx y?nx2?xi?12i8
AB的中点为N,若O、M、N、F四点共圆,求直线m的方程. 21.已知函数f(x)?1?2x?2a?6alnx存在一个极大值点和一个极小值点. x(1)求实数a的取值范围;
(2)若函数f?x?的极大值点和极小值点分别为x1和x2,且f?x1??f?x2??2?6e,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数)
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.
1?x??cos??2?22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(?为参数).以原点O为极点,x轴
?y?3?sin??2?的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系. (1)设直线l极坐标方程为???12,若直线l与曲线C交于两点A.B,求AB的长;
(2)设M、N是曲线C上的两点,若?MON?23.已知不等式x?1?x?x?1?m?1对于任意的x?R恒成立. (1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为M,且正实数a,b,c满足a?2b?3c?M.求证
的2?,求?OMN面积的最大值.
11??2?3. 2a?bb?2c