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2018年全国硕士研究生入学统一考试
数学二考研真题与全面解析（Word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1. 若limx?0?ex?ax?bx?x2?1，则 （ ）
21（A）a?1111,b??1 （B）a??,b??1 （C）a?,b?1 （D）a??,b?1 2222【答案】(B)
【解析】由重要极限可得
1?lim?e?ax?bx?x?lim?1?(e?ax?bx?1)?x2x2211x2x?0x?0
?lim?1?(ex?ax2?bx?1)?ex?ax2?bx?1x?01?ex?ax2?bx?1x2?ex?0limex?ax2?bx?1x2，
122x?x?ax2?bx??(x)x2e?ax?bx?12因此， lim?0?lim?0 22x?0x?0xx1(?a)x2?(1?b)x??(x2)1?lim2?0??a?0,1?b?0 x?0x22ex?ax2?bx?1ex?2ax?b(?b??1)ex?2a1?2a?0?lim?????lim??0， 或用“洛必达”：lim2x?0x?0x?0x2x22故 a?1,b??1，选（B）. 22. 下列函数中在x?0处不可导的是（ ）
x x （A）f(x)?xsinx （B）f(x)?xsin（C）f(x)?cosx （D）f(x)?cos【答案】(D)
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【解析】根据导数定义，A. limx?0xsinxxxf(x)?f(0)?lim?lim?0 ，可导； x?0x?0xxxB. limx?0xsinxxxf(x)?f(0)?lim?lim?0, 可导； x?0x?0xxx12xcosx?1f(x)?f(0) C. lim?lim?lim2?0 ，可导；
x?0x?0x?0xxx211?x?xcosx?122D. lim ，极限不存在。故选（D）. ?lim?limx?0x?0x?0xxx????2?ax, x??1?1,x?0???1?x?0，若f(x)?g(x)在R上连续，则（ ）. 3. 设函数f(x)??，g(x)??x, 1,x?0??x?b, x?0?（A）a?3,b?1 （B）a?3,b?2 （C）a??3,b?1 （D）a??3,b?2 【答案】（D）
?1?ax, x??1??1?x?0， 【解析】 令F(x)?f(x)?g(x)??x?1, ?x?b?1, x?0?则
F(?1)?1?a,F(0?)?1b F(?1?0)??2,F(0?0)??1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1?a故选 （D）. 4. 设函数
??2,1?b??1?a??3,b?2，
f(x)在[0,1]上二阶可导。且?0f(x)dx?0，则 （ ）
1（A）当
11f?(x)?0时，f()?0 （B）当f??(x)?0时，f()?0
2211???f(x)?0时，f()?0 （D）当f(x)?0时，f()?0
22（C）当
【答案】（D）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为x0?1 。 21将函数f(x)在x0?处展开，有
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1111f??(?)12f(x)?f()?f?()(x?)?(x?)，其中???x。
22222!2两边积分，得
0??1011f??(?)1111f(x)dx?f()??f?()(x?)dx??(x?)2dx
002222!21f??(?)112?f()??(x?)dx，
022!2由于
f??(x)?0??10f??(?)121 ，所以(x?)dx?0f()?0，应选（D）.
2!22【解析二】排除法。
111?（A）错误。令f(x)??x?，易知?f(x)dx?0，f(x)??1?0，但是f()?0。
022（B）错误。令
f(x)??x2?f(x)?x?111，易知?f(x)dx?0，f??(x)??2?0，但是f()?0。
032（C）错误。令故选 （D）.
111，易知?f(x)dx?0，f?(x)?1?0，但是f()?0。
022?21?x(1?x)25. 设M??2?，N?dx，K??2?(1?cosx)dx，则（ ） dx?x2????2e221?x??（A）M?N?K （B）M?K?N （C）K?M?N （D）K?N?M
【答案】（C）
【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。
??(1?x)21?x2?2x2x22M???dx?dx?(1?)dx??， ??222?????1?x1?x1?x2222?????K??2?(1?cosx)dx??2?1dx??，
22令
则f?(x)?ef(x)?ex?1?x,x?(?,)，
22??x1?，当x?(??,0)2时，f?(x)?0，
当x?(0,?2)时，
f?(x)?0，故 对?x?(???,)，有f(x)?f(0)?0，因而
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2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)
