2017-最新（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”
第四次模拟考试 数学学科（理）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1?1}，则AIB? x(A)(??,1] (B)[0,1] (C)(0,1] (D)(??,0)U(0,1] (2) 设复数z满足(1?2i)z?3?4i，则z?
(A)1?2i (B) ?1?2i (C) 2?i (D) ?2?i
x(3) 已知命题p: “?x?R,e?x?1?0”，则命题?p:
xx(A)?x?R,e?x?1?0 (B)?x?R,e?x?1?0
xx(C)?x?R,e?x?1?0 (D)?x?R,e?x?1?0
(4) 各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9?36，则前12项和S12的最小值为
(A)78 (B)48 (C)60 (D)72
1?(5) 已知cos(???)??，则sin(2??)?
32774242(A) (B)? (C) (D)?
9999(1) 设集合A?{x|x2?x},B?{x|(6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，
具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为
(A)
5 1212 25 (B)
1 543 100
学科 数学 信息 物理 化学 生物 北大 4 2 5 4 1 清华 2 1 0 4 2 (C) (D)
?x?y?1?0?22(7) 已知实数x,y满足平面区域D:?2x?y?2?0，则x?y的
?x?2y?2?0?最大值为
(A)
(8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
1 2 (B) 1
(C)22
(D) 8
8 (D)4 3(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的S?
35812(A) (B) (C) (D)
2357(A)22
(B)
(C)
4 3(10) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1,F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当?F1PF2?60?时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为
(A)
3 3 (B)
3 2 (C)
2 2 (D)
1 2(11) 函数y? (A)
1的部分图象大致为
ln|ex?e?x|
(B)
(C) (D)
x(12) 已知函数f(x)?e?ax有两个零点x1?x2，则下列说法错误的是 ．．
(A)a?e
(B)x1?x2?2
(C)x1x2?1
(D)有极小值点x0，且x1?x2?2x0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
rrrrrrr3(13)已知向量a,b满足|b|?3，a在b方向上的投影是，则a?b=；
2(14)直线y?x?2被圆M:x2?y2?4x?4y?1?0所截得的弦长为； (15)如下图数阵中的前n行的数字和为；
2 第一行 3 3 第二行 4 6 4 第三行 5 10 10 5 第四行 6 15 20 15 6 第五行 ……… … … …
(16)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD?A1B1C1D1中，
E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题： ①CD?PE②EF//平面ABC1③VP?ADD?VD?ADE ④过P可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．
111其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）
已知函数f(x)?A(sin（Ⅰ）求?的值；
xx?cos??cossin?)(A?0,0???)的最大值是2，且f(0)?1． 2222c．求
2bsinC?（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a?2，f(2A)?2，
△ABC的面积．
(18)（本小题满分12分）
砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:mg/1000L）:
甲地区的10个村子饮用水中砷的含量: 甲 乙 52 32 41 72 43 35 45 61 53 44 3 乙地区的10个村子饮用水中砷的含量: 4 44 56 38 61 72 57 64 71 58 62 5 （I）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用6 水中砷含量更高，并说明理由； 7
（II）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50mg/1000L，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．
(19)（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?（Ⅰ）证明：DC1?BC；
（Ⅱ）求二面角A1?BD?C1的大小．
(20)（本小题满分12分）
2已知抛物线C：x?2py(p?0)的焦点为F，直线x?4与x轴的交点为P，与C的交点为Q，且
1AA1，D是棱AA1的中点，DC1?BD． 2|QF|?（I）求C的方程；
（II）点A(?a,a)(a?0)在抛物线C上，是否存在直线l:y?kx?4与C交于点M,N，使得△MAN是以MN为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在说明理由．
5|PQ|． 4
(21)（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x?ln(x?a)(a?0)．
（I）若函数f(x)在(0,??)单调递增，求a取值范围；
（II）若函数f(x)的最小值为0，且当x?0时，f(x)?kx2，求k的最小值．
请考生在第22，23，24三题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一道题目计分．
(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC?BC． （I）求证:△APM∽△ABP;
（II）求证:四边形PMCD是平行四边形．
(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
?x?1?cos?(?为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程?y?sin??（Ⅱ）设直线l极坐标方程是2?sin(??点为Q，求线段PQ的长.
(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?|3x?2|．
（I）解不等式f(x)?4?x?1， ??)?33,射线OM:??与圆C的交点为O、P，与直线l的交33（II）已知m?n?1(m,n?0)，若|x?a|?f(x)?
11?(a?0)恒成立，求实数a的取值范围． mn
第四次模拟考试 数学学科（理）试卷(含答案)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
C B A D B A D C B A D C 1?1}，则AIB?【C】 x(A)(??,1] (B)[0,1] (C)(0,1] (D)(??,0)U(0,1] (2) 设复数z满足(1?2i)z?3?4i，则z?【B】
(A)1?2i (B)?1?2i (C) 2?i (D) ?2?i
x(3) 已知命题p: “?x?R,e?x?1?0”，则命题?p:【A】
xx（A）?x?R,e?x?1?0 （B）?x?R,e?x?1?0
xx（C）?x?R,e?x?1?0 （D）?x?R,e?x?1?0
(4) 各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9?36，则前12项和S12的最小值为【D】
（A）78 （B）48 （C）60 （D）72
1?(5) 已知cos(???)??，则sin(2??)?【B】
32424277(A) (B)? (C) (D)?
9999(1) 设集合A?{x|x2?x},B?{x| (6)高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我
学科 数学 信息 物理 化学 生物 25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具
北大 4 2 5 4 1 如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，
清华 2 1 0 4 2 恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为【A】
校体在政共人已策有数知的
1243 (D) 25100?x?y?1?0?22(7) 已知实数x,y满足平面区域D:?2x?y?2?0，则x?y的
?x?2y?2?0?(A)
(B)
(C)
最大值为【D】
(A)
5 121 5 (8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【C】
1 2 (B) 1
(C)22
(D) 8
8 (D)4 3(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的S?【B】
(A)22
(B)
(C)
4 3
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第四次模拟试题及答案解析
