2.?1xlnxdx? lnlnx?C
3. 若
?f(x)dx?x2?C ,则
?xf(1?x2)dx?x2?x42?c;
选择题
1. 设 F?(x)?G?(x),则 ( B )
(A) F(x)?G(x) 为常数 (B) F(x)?G(x)为常数 (C) F(x)?G(x)?0 (D)
ddx?F(x)dx?ddx?G(x)dx 2. 已知函数 f(x) 的导数是 sinx ,则 f(x) 的所有原函数是( B (A)cosx (B)?cosx?C (C)sinx (D)sinx?C3.若 ?f(x)dx?x2e2x?C ,则 f(x)? ( D )
(A)2xe2x (B)2x2e2x (C)xe2x (D)2xe2x(1?x) 三计算
1.求不定积分 ?xe3xdx
原式=?xd(1e3x)?1xe3x?1?e3xdx?1xe3x?1?13?e3xd(3x)=113xe3x?9e3x33333?C2. 2. ?x?1x2?1dx
解:原式??xx?1dx??11112x2?1dx?2?x2?1d(x2?1)??x2?1dx
3. 求
?11?exdx
解:令t?1?ex则x?ln(t2?1)
原式=?1t?112t2?1?2tdt??2t2?1dt??(t?1)(t?1)dt??(1t?1?1t?1)dt
4. 求 ?xlnxdx
解:原式??lnxd(1x2)?111112x2lnx?2?x2?xdx?2x2lnx?4x22?C
定积分
填空题
)
1 1.
?1x32xsinxdx = ?0
2.(tsint3dt)??
?0xsinx3
d3. f(x)dx = dx?ab0
bb4设 f(x) 在 [a,b]上连续,则
???f(x)dx??f(t)dt =
aa0
5
?e1dx? 2x(lnx)1
6若?(x)?7若?x?13?1xecost?tdt,则?'(x)? ?ecosx?x 1。 121 120f(t)dt?x,则f(7)?
解 f(x3?1)3x2?1,?当x?2时,(f7)=18设f?x?是连续函数,且f?x??x?2?f(t)dt,则f?x?? x -1 。
0解 设A??0f(t)dt,A??0xdx?2A?A??2A?A??
选择题
1. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 ( A )
xx3(A) ? (B) dx dx2?21?x0?11?x451112121 (C) ?0x(x?5)232edx (D) ?1e1dx xlnxx2. 设 f(x) 为连续函数,则
?f(t)dt为 ( C )
a(A)f(t) 的一个原函数 (B)f(t) 的所有原函数 (C)f(x) 的一个原函数 (D)f(x) 的所有原函数
x3.
?0f(t)dt?11f(x)?,且 f(0)?1,则 f(x)?( C ) 22(A) e (B)
1x21x1e (C) e2x (D) e2x 224.
1dx?( D ) 2?x?1(A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散
计算
x21. 1. 求定积分 ?dx 21?x011?x21解:?= (1?)dx?(x?arctanx)?1?dx022?01?x41?x0112. 求定积分 解:令t?51dx ?x1x?9x 则 x?t2 当x?1时,t?1,当x?9时,t?3
3.
1?lnxdx
e5151解:?lnxdx??1(?lnx)dx??1ee??lnxdx
4.
?21dx 2x?1?? 解:
?2bb111limdx ?limdx?dx2??222b???b???(x?1)(x?1)x?1x?15求函数f(x)??x20(2?t)e?tdt在(??,??)内的最大和最小值.
2解 因f(x)为偶函数,则只需求f(x)在[0,+?)内的最值.
令f'(x)?2x2(2?x2)e?x?0,则得驻点为x?2.
且当0?x?2时,f'(x)?0, 当x?2时, f'(x)?0,
故x?2 为f(x)在[0,+?]的极大值点,也是最大值点,且
f(x)??(2?t)edt??(2?t)e而 f(??)?xlim0????t???t??0??e?tdt?1
0??所以 minf(x)?f(0)?0.
多元函数微分学及其应用
填空题
1. 若Z?exy?yx2,则?Z?xexy?x2
?y2. 已知f(x,y)=exy,则2fx'(x,y)?2xyexy
2二元函数Z?xexy全微分dZ?exy(1?xy)dx?x2exydy ;
3. 二元函数Z?exy全微分dZx?1,y?0?dy
选择题
1. 设函数z?ln(xy),则 (A)
?z 等于( C ) ?x1x1y (B) (C) (D) yyxx?Z等于( D ) ?x2. 设Z?sin(xy2),则
(A)xycos(xy2) (B)?xycos(xy2) (C) ?y2cos(xy2) (D) y2cos(xy2) 3. 设 Z?3xy,则
?Z= ( D ) ?x(A)y3xy (B)3xyln3 (C)xy3xy?1 (D) y3xyln3 计算与应用题
1. 设 Z?Z(x,y)由方程eZ?x2y?lnZ?0确定,求dZ 解:令F(x,y,Z)?eZ?x2y?lnZ?0
Fy'Fx'?Z?x2x2Z?Z?2xy?2xyZ??'????'?? , ?yFZeZ?1ZeZ?1?xFZeZ?1ZeZ?1ZZ?2Z2. 设Z?xln(x?y),求2,?x?2Z ?x?y?2Z?Zx1x?y?xx?2y解: ?[ln(x?y)?]???222?xx?yx?y(x?y)?x(x?y)3. 设 Z?lnx2?y2,求偏导数 解:
?Z??x1x2?y22x2?y2?2x?x 22x?y4计算二重积分
??(x?6y)dxdy,其中D是由y?x,y?5x,x?1
D15x所围成的区域。
解:??(x?6y)dxdy??dx?yy?5xD0x(x?6y)dy
5.求积分解: ?10dy?1?yy?x03xy2dx
1?y?10dy1?0013233313141123xydx?(y?y)dy?(y?y)0? ?022x23486. 计算二重积分??(x?y)d?, 其中D由曲线y?x2,x?1,x轴围成
D 解:??(x?y)d???dx?D01x2o(x?y)dy