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勾股定理（基础）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】
【 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线
段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2?c2?b2，b2?c2?a2， c2??a?b??2ab.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
2
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中
，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
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要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
的线段.
，所以.
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a．
【思路点拨】利用勾股定理a?b?c来求未知边长． 【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，
所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24， 所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：
【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）已知b＝2，c＝3，求a；
（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴ a?c2?b2?32?22?5； （2）设a?3k，c?5k．
∵ ∠C＝90°，b＝32，
∴ a?b?c． 即(3k)?32?(5k)．
2222222222222222222222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
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解得k＝8．
∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．
【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． OA2=（OA3=（OA4=（
222
）+1=2 ，S1=）+1=3，S2=）+1=4，S3=
22
2
； ； …
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=___________； （2）推算出OA10=______________．
2222
（3）求出 S1+S2+S3+…+S10的值．
【答案】解：（1）
Sn=
+1=n+1
（n是正整数）；
；
故答案是：
2
（2）∵OA1=1，
22
OA2=（）+1=2， 22
OA3=（）+1=3， 22
OA4=（）+1=4，
2
∴OA1=， OA2=， OA3=，… ∴OA10=； 故答案是：； （3）S1+S2+S3+…+S10
=（
）+（
2
2
2
2
22
2
2
）+（）+…+（）
=（1+2+3+…+10） =
．
2
2
2
2
即：S1+S2+S3+…+S10=．
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浙教版初中数学八年级上册勾股定理(基础)知识讲解
