第5章常微分方程及其应用
习题 5.2
1 .求下列各微分方程的通解： (1) (3) (5)
x dx ydy = 0 ；
(xy x)dx (y - x y)dy =0 ； 2y - y =ex ；
2
2
2
(2) xy_yl ny=0 ； (4) (6)
y - 3xy = 0 ; y 二 y ta n x cos x .
.求下列各微分方程满足所给初始条2 件 (1)
牛的
弹： 特解 (2)
x 1 y
y =e2x* , y(0) =0;
dx
y 1 x
dy = 0 , y(0) = 1;
(3) y - y 二 cosx , y(0)二 0 ； (5)
(4) y - y tan x 二 secx , y(0) = 0 ； (6) xdyi2xy-x1 dx = 0 , y(1)
2
「y sin x
y
x
, y(二)=1 ；
x 5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程
案例引入 求微分方程y“ = 6x的通解. 解 两边积分，得y = 6xdx =3x2 ? G 两边再积分，得
y二3x2 C1 d^ = x3 C1x C2
所以，原方程的通解为 y =x3 ? Gx ? C2，其中C1、C2为任意常数.
5.3.1可降阶微分方程 1.形如y(n)= f(x)的微分方程 特点：方程右端为已知函数
f (x) ?
解法：对y(n) = f (x)连续积分n次，即可得含有n个任意常数的通解. 2.形如y”二f(x,y)的微分方程 特点：方程右端不显含未知函数
y .
1
解法：令y\p(x)，则y'J p(x).于是，原方程可化为 p\f (x, p).这是关于 p, p ?的一阶微分方程.设其通解为 p(x)二「(x,CJ，即讨二(x,Ci).两边积分，即可 得原方程通解y = . (x,Ci)dx
C2，其中C1、C2为任意常数.
3.形如y”二f(y,y)的微分方程 特点：方程右端不显含自变量
x .
解法：令y = p(y)，则yl坐鱼二y= p並.于是，原方程可化为
dy dx dy dy
pp二f(y, p).这是关于p, p?的一阶微分方程.设其通解为
p(y)J：(y,Ci)，即
dx
(y,C1) ?分离变量，得
'■ (y,Ci)
dx .然后两边积分，即可得原方程通解
-x C2，其中C1、C2为任意常数.
例5-7 求微分方程 y = sin x -cosx的通解.
解 两边积分，得 y = (sinx - cosx)dx = -cosx-sinx ■ 2G 两边再积分，得 y 二-cosx - sinx 2C1 dx 二-sinx cosx 2C1x C2
第三次积分，得 y 二 -sin x cosx 2C1x C2 dx 二 cosx sin x C1x2 C2x C3
所以，原方程的通解为
y二cosx ? sinx ? Gx2 ? C2x ? C3，其中C1、C2、C3为常数.
例5-8 求微分方程x y - y = 0的通解.
1
解 令丫 = p(x)，则y'”二p (x).原方程可化为xp - p =0 , 即卩p p = 0 .这 是关于p, p的一
阶线性齐次微分方程.其通解为：
l
p(x) =2Ge x
r-dx
2Genx =2Gx，即y = 2C1x .两边积分，即得原方程通解
2
y = 2Cixdx =Gx C2，其中G、C2为任意常数.
1
例5-9 求微分方程y \一 y = xe?的通解.
x
解 令y = P(X)，则y工p (x).于是，原方程可化为 p p =. xe? .这是关于 x
2
r? p,p ?的一阶线性非齐次微分方程.其通解为
1dx
_ 1dx
p(x)二e x
xe\x
dx 2G
In x
二 e
xe^eJnxdx 2C1=x e」dx 20〔= x _ e 2G
即y〉x - e」2C1 .两边积分，即得原方程通解
y = x -e 2C1 d^ = -xe^ 2C1x d^ = xd e^
-x x 2
x
Gx C2
二 xe --e dx Gx = (x 1)e 2
其中
Ci、C2为任意常数.
例5-10 求微分方程yy'\—1y $ = 0的通解.
解 令y = p(y),则y = pp (y).于是，原方程可化为ypp，- p2 = 0 ,即
1
p p =0 .这是关于p, p ?的一阶线性齐次微分方程.其通解为
y
「
dy l
p(y) = Cie y
二Cieny 二C°，即 y =Gy .
所以原方程通解为y =C2e'“乂 = C2eCix，其中C1、C2为任意常数.
5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程 定义5.4形如
y py qy = o,
P、q 为常数
的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构
3
C1x2
(5-5)
2019年常微分方程及其应用.doc
