高中数学竞赛标准教材平面向量
一、基础知识
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数??0，使得a=?b.f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为?，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos?=|a|·|b|cos
3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=
x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a, b?0),
4. a//b?x1y2=x2y1, a?b?x1x2+y1y2=0.
定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使P1所成的比，若O为平面内任意一点，则OPP??PP2，λ叫P分P1P2?OP1??OP21??。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,
?x1??x2x??x?x1y?y1?1??y1), (x, y), (x2, y2)，则?.???.
x?xy?y22?y?y1??y2?1???h2?k2个单位得到图形F'，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到F'上对应的点为p'(x',y')，?x'?x?h则?称为平移公式。 ?y'?y?k定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=(x1222?y12)(x2?y2)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，
(x1化简即为柯西不等式：
22222?x2???xn)(y12?y2???yn)? (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0,
|a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x122222?x2???xn)(y12?y2???yn)?(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向与例题
1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：OA1【证明】 记S?OA2???OAn?O.
?O，则将正n边形绕中心O旋转
?OA1?OA2???OAn，若S2?n后与
原正n边形重合，所以S不变，这不可能，所以S?O.
例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是GA?GB?GC?O.
【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则
AG?2GD?GP.
又因为BC与GP互相平分，
所以BPCG为平行四边形，所以BG//PC，所以GB所以GA?GB?CP.
?GC?GC?CP?PG?O.
?GC?O，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则GA?PG.因
充分性。若GA?GB为GC?PG?PC?O，则GB?PC，所以GB//CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。 所以G为重心。
例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：2
AB+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为BP?PQ?所以BQ=BP=BP222BQ,DP?PQ?DQ，
2?DQ?(BP?PQ)2?(DP?PQ)2
2222222?DP?2PQ?2BP·PQ?2DP?PQ
?DP?2PQ?2(BP?DP)?PQ?BP?DP?2PQ. ①
又因为BQ?QC2?BC,BQ?QA?BA,QA?QC?O,
2222同理
BA?BC?QA?QC?2BQ2222， ②
2CD?DA?QA?QC?2QD由①，②，③可得BA22， ③
222?BC?CD?4QA?2(BQ?QD)
2222222?AC?2(2BP?2PQ)?AC?BD?4PQ2AM 3。得证。
2．证利用定理2证明共线。
例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。 【证明】 首先OG=OA??OA?AG?OA?11(AB?AC)?OA?(2AO?OB?OC) 331?(OA?OB?OC). 3其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE?又AH?BC，所以AH//CE。
又EA?AB，CH?AB，所以AHCE为平行四边形。 所以
BC.
AH?EC,
?OA?AH?OA?EC?OA?EO?OC?OA?OB?OC， ?3OG，
所以OH所以OH所以OG与OH共线，所以O，G，H共线。 所以OG：GH=1：2。 3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a?b.
【证明】|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a?b. 例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OE?CD。 【证明】 设OA?a,OB?b,OC则OD?c，
1(a?b)， 21?111?1OE??a?c?(a?b)??c?a?b.
3?226?31又CD?(a?b)?c，
211??11?1?所以OE?CD??a?c?b???a?b?c?
36??22?2?11111?a2?b2?c2?a?b?a?c 4123331?a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 3?又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。
所以a·(b-c)=0. 所以OE?CD。 4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。
【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则BE=(x, y-1), 所以-x-(y-1)=0.
又因为|CE|?|由①，②解得x因为BE//AC，AC?(1,?1)，
AC|，所以x2+y2=2.
?1?31?3,y?. 22?3?3?1?3??,|AE|2?4?23. ,所以AE???2?2??设F(x',1)，则CF所以x'?所以|?(x',1)。由CF和CE共线得
1?31?3x'??0. 22?(2?3)，即F(?2?3,1)，
AF|2=4+23?|AE|2，所以AF=AE。
AB?a,CD?b，
；③
三、基础训练题
1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①BC?CD?EC；②2BC?DCFE?ED；
④2ED?FA与AC，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.
4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.
5．已知a, b不共线，MN=a+kb,
MP=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.
6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且BN?2NA，BM
与CN交于D，若
BD??BM，则λ=__________.
7．已知OA,OB不共线，点C分AB所成的比为2，则????__________. OC??OA??OB，
8．已知OA?a,OB=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________. 9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若a的坐标为__________.
10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转
?b，c·b=4，则b
?得到向量b，则b的坐标为__________. 411．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问PQ与BC的夹角?取
何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值。
12．在四边形ABCD中，AB?a,BC?b,CD?c,DA?d，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题
1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足
?ABAC???,???0,???. 则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。 OP?OA????|AB||AC|???2．在△ABC中，
AB?a,BC?b，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.
?O，则△ABC 的形状为
3．非零向量OA?a,OB?b，若点B关于OA所在直线对称的点为B1，则OB1=__________. 4．若O为△ABC 的内心，且(OB?OC)?(OB?OC?2OA)__________.
5．设O点在△ABC 内部，且OA?2OB心.
7．已知OP?(cos?,sin?),OQ?(1?sin?,1?cos?)(??[0,?])，则|PQ|的取值范围是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.
9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OA?(OB?OC)的最小值为__________. 10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M?N=__________. 11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知
?3OC?O，则△AOB与△AOC的面积比为__________. ?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC 的__________
6．P是△ABC所在平面上一点，若PA?PBOP?xOA,OQ?yOB，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T， T（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。
S12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得MP?MN,PM?PN,NM?PN成公差小于
零的等差数列。
（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0),
五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且OC?为PM与PN的夹角，求tan?.
11??1pq?pOA,OD?qOB，则直线CD恒过一个定点，这个定
点的坐标为___________.
2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点，
OA?x,OB?y,OC?z.则OP=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.
3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.
4．平面内四点A，B，C，D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9，则AC?BD的取
值有___________个.
5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则
|PA1|2?|PA2|2?|PA3|2?|PA4|2?|PA5|2取值的集合是___________.
OA+sinB·OB+sinC·OC6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·
则点O为△ABC 的___________心.
7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)?(a-b)”的___________条件.
8．在△ABC 中，AB?a,BC?c,CA?b，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P为△ABC内一点，且PA?2PB?3PC?O，CP交AB于D，求证：DP?PC. 10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。 HA?a,HB?b,HC?c,HO1?p，求证：
11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到V'的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，
（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y； （2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；
（3）设u=(1, 0)；V?O，
?(0,1)，若T(u)?V，求a.
AMPNRT??MBNQTS六、联赛二试水平训练题
1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，
APAR?BQBC为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定
比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。
2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.
3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。
4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。
5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的?AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。
7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB?DF，OC?DE，（2）OH?MN。
8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作
OA?A1A2,OB?B1B2,OC?C1C2，求证△ABC为正三角形。
9．在平面上给出和为O的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证： |a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
高中数学竞赛 平面向量【讲义】
