?313x?y?z?0??z?∵n?AB?0，n?AP?0，∴?2，取，则， x?122?y?0?∴平面PAB的一个法向量为n?(1,0,3). …………………………10分 2设向量n与PC所成角为?，∵PC?(0,1,?1)，
∴cos??n?PCnPC??327?24??42， 1442. .…………………………12分 14∴PC平面PAB所成角的正弦值为
（19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………1分 22222（6-7）+（5-7）+（7-7）+（9-7）+（8-7）=2， …………3分 甲班的方差s?52122222（4-7）+（8-7）+（9-7）+（7-7）+（7-7）14=， …………5分 乙班的方差s?552222因为s1?s2，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分 (Ⅱ)X可能取0,1,2
21131211313P(X?0)???，P(X?1)?????，P(X?2)???，
525521052522所以X分布列为：
X P 数学期望EX?0?0 1 2 1 51 23 1011311?1??2??. …………………………………9分 521010Y可能取0,1,2
313342114248P(Y?0)???，P(Y?1)?????，P(Y?2)???，
55255525555525所以Y分布列为：
Y P
数学期望EY?0?0 1 2 3 2514 258 2531486?1??2??. …………………………12分 2525255
（20）解：(Ⅰ)
b?1，e?c3=， ?a?2,b?1， a2x2?椭圆C方程为?y2?1. ………………………………………2分
4x2y2x2（Ⅱ）法一：椭圆C12?2?1，当y?0时，y?n1?2，
mnm故y???nx?m211?xm22，
n?当y0?0时，k??2x0?mn1n2x0??2x0??2?. ……………4分 2ymmy00x1?02nm1n2x0切线方程为y?y0??2??x?x0?，
my022n2x0x?m2y0y?m2y0?n2x0?m2n2，
x0xy0y?2?1. …………………………6分 m2n同理可证，y0?0时，切线方程也为当y0=0时，切线方程为x??m满足
x0xy0y?2?1. m2nx0xy0y?2?1. 2mnx0xy0y?2?1. ……………………7分 2mn综上，过椭圆上一点Q(x0,y0)的切线方程为
解法2. 当斜率存在时，设切线方程为y?kx?t，联立方程：
?x2y2?2?2?1222222可得nx?m(kx?t)?mn，化简可得： n?m?y?kx?t?(n2?m2k2)x2?2m2ktx?m2(t2?n2)?0，①
由题可得：??4mkt?4m(n?mk)(t?n)?0， ……………………4分 化简可得：t?mk?n，
2222422222222m2ktm2k??①式只有一个根，记作x0，x0??2，x0为切点的横坐标，
n?m2k2tn2x0n2x0m2k切点的纵坐标y0?kx0?t?，所以??2，所以k??2，
ty0nmy0n2x0所以切线方程为：y?y0?k(x?x0)??2(x?x0)，
my0化简得：
x0xy0y?2?1. …………………………… 6分 2mnx0xy0y?2?1， 2mn当切线斜率不存在时，切线为x??m，也符合方程
xxyyx2y2综上：2?2?1在点(x0,y0)处的切线方程为02?02?1.
mnmn（其它解法可酌情给分） ………………………… 7分
x2?y2?1的切线，切点（Ⅲ）设点P(xp,yp)为圆x?y?16上一点，PA,PB是椭圆422A(x1,y1),B(x2,y2)，过点A的椭圆的切线为
两切线都过P点，?x1xxx?y1y?1，过点B的椭圆的切线为2?y2y?1. 44x1xp4?y1yp?1,xxp4x2xp4?y2yp?1.
?切点弦AB所在直线方程为
?yyp?1. …………………… 9分
14?M(0，)，N(,0)，
ypxp22161?161?xp?yp?MN?2?2=?2?2??
?16xpyp?xyp??p22y21?xpp=?2?17?16?216?xp?yp?25?1?x2y2pp??17?216?2?2??. ??16?ypxp?16???2当且仅当
x2py2p?16y2px2p，即xP?6416,yP2?时取等， 55?MN?55，?MN的最小值为. ……………………………………12分
442x?2（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f'(x)?f'(1)e又f(0)??2x?2f(0)，所以f'(1)?f'(1)?2?2f(0)，即f(0)?1．
f?(1)?2?e，所以f'(1)?2e2， 22x所以f(x)?e（Ⅱ）
?x2?2x． ……………………………………4分
f(x)?e2x?2x?x2，
.
x111?g(x)?f()?x2?(1?a)x?a?ex?x2?x?x2?(1?a)x?a?ex?a(x?1)2444 ……………5分
?g?(x)?ex?a，
( x ) 在R上单调递增； .……………6分 ①当a≤0时，g?(x)?0，函数 g?(x)?ex?a?0x?lnaga?0②当时，由得，
∴x????,lna?时，g?(x)?0， g(x)单调递减；x??lna,???时，g?(x)?0，g(x)单调递增． 综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(??,??)；当a?0时，函数g(x)的单调递增区间为
?lna,???，单调递减区间为???,lna?． .……………8分
（Ⅲ）解：设p(x)?e?lnx,q(x)?ex?1?a?lnx， xp'(x)??e1??0，?p(x)在x?[1,??)上为减函数，又p(e)?0， 2xx?当1?x?e时，p(x)?0，当x?e时，p(x)?0.
11q'(x)?ex?1?，q''(x)?ex?1?2?0，
xx?q'(x)在x?[1,??)上为增函数，又q'(1)?0，
?x?[1,??)时，q'(x)?0，?q(x)在x?[1,??)上为增函数， ?q(x)?q(1)?a?2?0.
①当1?x?e时，|p(x)|?|q(x)|?p(x)?q(x)?设m(x)?ex?1?e?a， xex?1e?e?a，则m'(x)??2?ex?1?0，?m(x)在x?[1,??)上为减函数， xx?m(x)?m(1)?e?1?a，
a?2，?m(x)?0，?|p(x)|?|q(x)|，?ex?1比e+a更接近lnx. x②当x?e时，|p(x)|?|q(x)|??p(x)?q(x)??设n(x)?2lnx?ex?1e?2lnx?ex?1?a?2lnx?ex?1?a， x?a，则n'(x)?2x?12?e，n''(x)??2?ex?1?0， xx?n'(x)在x?e时为减函数，?n'(x)?n'(e)?2e?1?e?0， e?n(x)在x?e时为减函数，?n(x)?n(e)?2?a?ee?1?0， ?|p(x)|?|q(x)|，?ex?1比e+a更接近lnx. xex?1比e+a更接近lnx. …………………………… 12分 x综上：在a?2,x?1时，
(22) 解： (1)连接BD,OD,?CB,CD是圆O的两条切线，?BD?OC，
??ODB??DOC?90?,又?AB为圆O的直径，?AD?DB，
??ADO??ODB?90???OAD??ODA,??OAD??DOC,即得证，……5分
(2)?AO?OD,??DAO??DOC,?Rt△BAD∽△COD，
AD?OC?AB?OD?8. ………………………………………………………… 10分
?x?3?2cos?(23)解：（1）圆C的参数方程为?（?为参数）
y??4?2sin??所以普通方程为(x?3)?(y?4)?4 …………………………………………2分
22
?圆C的极坐标方程：?2?6?cos??8?sin??21?0 …………………5分
（2）点M(x,y)到直线AB：x?y?2?0的距离为 ………………………6分
d?|2cos??2sin??9|2
………………………7分
△ABM的面积S?
1??|AB|?d?|2cos??2sin??9|?|22sin(??)?9| 24 ………………………9分 所以△ABM面积的最大值为9?22 ………………………10分
??x?4,x??1? (24) 解：（1）f(x)??3x,?1?x?2， ………………………2分
?x?4,x?2?当x??1,?x?4?2,x??6,?x??6 当?1?x?2,3x?2,x?22,??x?2 33当x?2,x?4?2,x??2,?x?2 综上所述 ?x|x???2?或x??6? ． ………………………5分 3?11t恒成立， 2（2）易得f(x)min?f(?1)??3，若?x?R，f(x)?t2? 则只需f(x)min??3?t2?综上所述
73t?2t2?7t?6?0??t?2， 223?t?2． ………………………10分 2
(附加15套模拟试卷)广西桂林市、崇左市、防城港市2020届高三第二次联合模拟考试数学(理)试卷及答案
