高中数学选修2-1课时作业
§1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
一、选择题 1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列命题中特称命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A.1 B.2 C.3 D.4 4.给出以下命题： ①?x∈R，有x4>x2；
②?α∈R，使得sin 3α＝3sin α； ③?a∈R，对?x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为( ) A.0 C.2
B.1 D.3
5.下列四个命题中，为真命题的是( )
1
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A.?x∈R，x＋≥2
x1
B.?x0∈R，x0＋≥2
x0C.?x0∈R，|x0＋1|<0 D.?x∈R，|x＋1|>0
6.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是( ) A.?x0∈R，f(x0)≤f(x1) B.?x0∈R，f(x0)≥f(x1) C.?x∈R，f(x)≤f(x1) D.?x∈R，f(x)≥f(x1)
7.已知命题p：?x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(A.[0,4] B.(0,4)
C.(－∞，0)∪(4，＋∞) D.(－∞，0]∪[4，＋∞) 8.下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立； ②?x∈Q，x2＝2； ③?x∈R，x2＋1＝0； ④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题
9.给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形； ③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________.
10.若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________. 11.若“?x∈??0，π
4??，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 三、解答题
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) 高中数学选修2-1课时作业
12.已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
13.若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
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[答案]精析
1.C
2.B [命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.] 3.C [①②③为真命题.]
4.B [①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题.故选B.] 5.B
6.C [∵x1是方程2ax＋b＝0的解， b∴x1＝－，
2a又∵a>0，
∴f(x1)是y＝f(x)的最小值， ∴f(x)≥f(x1)恒成立.] 7.A
8.D [x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.
∵当且仅当x＝±2时，x2＝2， ∴不存在x∈Q，使得x2＝2， ∴②为假命题.
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题. 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
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高中数学选修2-1课时作业 ∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.]
9.①②④ 10.(－2，－1)∪(1，2) 11.1
ππ
0，?上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即[解析] ∵函数y＝tan x在??4?4m≥1.∴m的最小值为1.
12.解 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题. 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立， 所以a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根， 所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. 综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
13.解 (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点， 所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0时，a∈[－1,1].
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高中数学选修2-1课时作业13：1.4.1 全称量词- 1.4.2 存在量词
