第六章微分中值定理及其应用
微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“罗，虽然我们对中值“匕”缺乏定量的了解，但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用.
1.
求：掌握微分中值定理与函数的
教学目的与要Taylor公式并
应用于函数性质的研究，熟练应用 L/ Hospital法则求不定式极限, 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题
2. 教学重点与难点:
重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的
单调性、极值与凸性.
难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性
3. 教学内容:
§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性
本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识一罗尔定理，并由 此来讨论函数的单调性.
罗尔定理与拉格朗日定理
定理6.1 (罗尔(Rolle)中值定理)设f满足
(i)在a,b上连续; (ii)在(a,b)内可导;
(iii) f (a) = f (b)
则至＜^(a,b)使
(1)
注(i )定理6.1中三条件缺一不可.
1o
0 ,(ii),( iii)满足，(i )不满足, 结论不成立. i),( iii)满足,(ii )不满足,结论不成 i ),( ii )满足,(iii)不满足,结论不成 定理6.1中条件仅为充分条件. (ii ) 心屮2心 l-x2 X迂 R-Q X-「1】，f不满足(i ), (ii ),( iii)中任一条,但「(0) =0. (iii)罗尔定理的几何意义是 :在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等，则至少存在一条水平切线. 例1设f在R上可导，证明：若f(x)=0无实根，则f(x)=0最多只 有一 个实根. 证(反证法,利用Rolle定理) 例2 证明勒让德(Legendre)多项式 在(-1,1)内有n个互不相同的零点. 将Rolle定理的条件(iii)去掉加以推广，就得到下面应用更为广 泛的Lagrange中值定理. 定理6.2 (拉格朗日(Lagrange中值定理)设f满足 (i)在a,b上连续； (ii)在(a,b)内可导 则耳匕“a,b)使 f3 f(b) — b —a f(a) ［分析］(图见上册教材121页图6-3 )害熾AB的方程为 y = f (a) + ---- -- (X - a) b -a 问题是证明3?壬(a,b),使f徉)与割线在匕处导数yjx上相等 即证 f(b[f(x)-f(a)- b~f(a)(x-a)]B0 b -a 证 作辅助函数 F(x) = f(X)- f(a)- f(b) ~ f (a) (x-a),x 引a,b] b -a 注(i儿agrange中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线 (ii )(2)式称为Lagrange(中值)公式，它还有以下几种等价形 f (b) — f (a) = f '(?)(b — a), a < 匕 f(b) - f (a) = f'(a +0(b-a))(b -a),0 乙 <1 f (a +h) - f (a) = f '(a +T h)h,0<9 <1 另外，无论a>b,还是a cb, Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来 ，而且比上 一章中有限增量公式前进了一大步，这也是Lagrange中值定理应用 更为广泛的原因之一. (iii) Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广. (iv) Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材 中首先构造辅助函数 Fx) (=f(_f(_^^(_),“,b］ x)a)fbxaxa
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