二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点：
（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点：
（1）理解最简二次根式的概念；
（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理：
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；
（2）
（
≥0，
≥0）可以推广为
≥0）。
（
≥0，
≥0）；
（≥0，≥0，≥0，
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即母中，因此＞0；
（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明：
（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】
例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1）（2）
分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。 （a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。
解：（1）+1≥0，2-≥0。解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。 （2）≥0，3->0。解得≥0，< 3，即0≤<3。 例2. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。
解：（1）
=
=
；
（2）===6；
（3）===；
（4）
例3. 化简： （1）
===。
；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用公式的形式。
解：（1）（2）（3）（4）=
例4. 计算： （1）分析：利用
=。 =
=
==
=
=
（≥0，≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方=15；
==
==6； =
=
=
=20；
；（2）；（3）；（4）。
（≥0，≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根
≥0。 =
=
==
=；
；
=。
=-39；
式时，应尽量化简。（4）中的隐含条件是≥0，
解：（1）（2）（3）（4）
例5. 化简：
====
=
==
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
。
分析：利用（≥0，≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。
解：（1）（2）（3）=
=
=
=
==
=
=；
==504；
=
=
；
（4）
例6. 化简： （1）
（
=
＞0）；（2）（＞0）；
（3）（＞0）；（4）（＞0，＞）。
分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。
解：（1）（2）=（3）（4）
例7. 计算：
=
；
==
==
=
=
。
=
=
=
=
；
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用（≥0，＞0）进行计算，运算后结果要化简。
解：（1）===2；
（2）===3；
（3）===2；
（4）==。
例8. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：运用公式（≥0，＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。
解：（1）===；
（2）==；
（3）==；
（4）
例9. 计算：
===。
（1）；（2）；（3）；（4）。 分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。
解：（1）====；
（2）====
（3）===；
（4）====。
例10. 把下列根号外的因式移到根号内
（1）；（2）。
分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。
解：（1）（2）
=
点拨：因式内移，最容易发生符号错误。因此内移时，一定要认准非负因数或因式，保证内移时，不改变根式的大小。如（1）题中被开放数（2）题因为被开方数
＞0，所以
，根号外面的－x也是非负的，内移后根号外应没有负号；＞0，所以
＜0要把负号留在根号外面。
例11. 去掉下列各式分母中的根号：
分析：（1）分母分子、分母同乘（4）将分子分解
=
，分子、分母同乘
即可去掉分母中的根号； （2）分母
，
即可去掉分母中的根号；（3）分子、分母同乘
后，直接与分母约分，从而化去分母．
即可去掉分母中的根号；
解：（1）
（2）
（3）
=
（4）
点拨：去掉分母中的根号，通常是分母有理化。分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法。当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化，待约分后再相机行事。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题： 1. 等式2. 计算：（1）
成立的条件是 .
； （2）
.
（3） ； （4） .
＝ ； （2）
.
3. 化简：（1）
4. 计算：（1）二. 选择题：
＝ ；（2） .
5. 把A.
化简的结果应是（ ） B.
C.
D.
二次根式的乘除法
