线性代数公式大全 - 最新修订（突击必备）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj??1i?ji?；

?0i?j(i,j?1,2,?n)②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1； bb1,a2]2?a2?[[b1,b1

1]?b ???

b[b1,ar],ar]r?ar?[b1,bb[b21?bbr?1,ar]2???[1]?[b2,b2]?[br?1,br?1]?br?1;

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n；

?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数；

?A的各阶顺序主子式均大于0；

?aii?0,A?0；(必要条件) 6