线性代数公式大全——最新修订
1、行列式
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mi?jij?(?1)AijAi?jij?(?1)Mij
4. 设n行列式D：
n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D21，则D1?(?1)D；
n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?，所得行列式为D2，则D2?(?1)2D；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积；
n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2； ⑤、拉普拉斯展开式：
AOACCB?OB?AB、
CABO?OABC?(?1)m?nAB
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
n6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??n??(?1)kSn?kk?，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解；
④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关；
?齐次方程组Ax?0有非零解；
??b?Rn，Ax?b总有唯一解；
?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
1
?A的特征值全不为0；
的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；
*?1T?ATA是正定矩阵； ?A?A2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A)?(A)TT?1*(A)?1T*?(A)**T?1(A)*T?(A)?1T*
?1(AB)?BA(AB)?BA(AB)?B?1A
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
若
?A1?A?????A2??????As?，则：
Ⅰ、A?A1A2?As；
?A1?1???????O??B?A??O?C??B?O??B??1Ⅱ、A?1A2?1???????1As??；
?A②、??O?O③、??B?A④、??O?A⑤、??C?A?1???O?O???1?A?A?1???OO?；（主对角分块） ?1?B?B??；（副对角分块） O??1?1?1?1?1?ACBB?1??；（拉普拉斯） ??1?1?A???1?1??BCAO??1?B?；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F???Er?OO?； ?O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
r①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
c②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；
r③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?Ab?1；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
2
??1?②、???????2????，左乘矩阵A???n?，?i乘A的各行元素；右乘，?i乘A的各列元素；
③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1???E(i,j)，例如：1???1???1???1???1????11???1??；
④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?1?11??E(i())，例如：?k??k???1???1??????1k???(k?0)?1??；
⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?15. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
?1??E(ij(?k))，如：???1k???1???1?1?????1?k??(k?0)?1??；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)?r(B)?n
?0?0，则：（※）
解（转置运算后的结论）；
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1?②、型如?0?0?a10c??b?1??的矩阵：利用二项展开式；
n
二项展开式：(a?b)n?Ca?Ca0nn1nn?1b???Ca1mnn?mbm???Cn?1nab1n?1?Cb?nnn?Cm?0mnabmn?m；
注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
?n(n?1)??(n?m?1)1?2?3???mmnⅡ、Cnm?n!m!(n?m)!Cmn?1Cn?Cn?1
n0nⅢ、组合的性质：C?Cn?mn?Cmn?Cm?1n ?Cr?0rn?2nrCn?nCn?1rr?1；
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1r(A)?n?1；
3
②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A?AA???AX?*?1*A?X)；
n?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；
10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?????ax?ax???a2nxn?b2???①、?211222?????????????ax?ax???ax?bm22nmnn?m11?a11?a②、?21????am1a12a22?am2????a1n????a2n???????amn??；
x1??b1????x2b2?????Ax?b????????xm??bm?（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）
③、?a1a2???an?????x1??x2??????xn??b1?b（全部按列分块，其中???2????bn??????）；
④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)；
?????????1T?T?2TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B?????T???m；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
?Ax?b是否有解；（线性方程组） ②、向量的线性表出
?AX?B是否有解；（矩阵方程） ③、向量组的相互线性表示
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4. 5.
r(AA)?r(A)T；(P101例15)
n维向量线性相关的几何意义：
???0； ①、?线性相关
②、?,?线性相关
??,?坐标成比例或共线（平行）；
4
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；
若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示
?AX?B有解； ?r(A)?r(A,B)（P85定理2）
?s(二版P74定理7)；
向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推论） 8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；
①、矩阵行等价：
rA~B?PA?Bc（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解
②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am?sBs?n?Cm?n，则：
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；
②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；
12. 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：（P110题19结论）
（B?AK）
其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）
(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K 注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En 14. ?1,?2,?,?s线性相关
????(?1,?2,?,?s)?????r(A)?n、P的行向量线性无关；
存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）
x1??x2??0有非零解，即Ax?0???xs?有非零解；
?r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax16. 若?*为Ax33结论）
?b?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；
的一个解，?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关；（P111题
5
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj??1i?ji?；
?0i?j(i,j?1,2,?n)②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1；
③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)
b1?a1； bb1,a2]2?a2?[[b1,b1
1]?b ???
b[b1,ar],ar]r?ar?[b1,bb[b21?bbr?1,ar]2???[1]?[b2,b2]?[br?1,br?1]?br?1;
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；
②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；
?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：
?A的正惯性指数为n；
?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数；
?A的各阶顺序主子式均大于0；
?aii?0,A?0；(必要条件) 6
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