2014上海各区模拟考中考数学压轴题2-14松江24

例 2014年上海市松江区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过A、B两点，且顶点为C．

（1）求这个二次函数的解析式； （2）求sin∠OCA的值；

（3）若P是这个二次函数图像上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．

图1

满分解答

（1）由y＝－x＋5，得A(5, 0)，B(0, 5)． 将A(5, 0)、B(0, 5)分别代入y＝x2＋bx＋c，得??25?5b?c?0,

c?5.?解得??b??6,所以这个二次函数的解析式是y＝x2－6x＋5．

?c?5.（2）由y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，得顶点C的坐标为(3,－4)． 因此OC＝5．所以OA＝OC，∠OCA＝∠OAC． 如图2，作CE⊥OA，垂足为E．

在Rt△ACE中，CE＝4，AE＝2，所以AC＝25．

因此sin∠OAC＝

2525．所以sin∠OCA＝． 55（3）如图3，直线AB与x轴的夹角为45°，AB＝52． 图2 如果△ABP的面积为10，那么点P到直线AB的距离为22．

设点F是y轴上位于点B下方的一个点，以BF为斜边构造等腰直角三角形BFM，当直角边为22时，BF＝4．此时点F的坐标为(0, 1)．

过点F作AB的平行线，与抛物线的交点，就是所要求的点P．

?x2?6x?5?0,?x?1,?x?4,解方程组?得?或?

?y?0,?y??3.?y??x?1,点(1, 0)不在x轴下方，所以点P的坐标为(4,－3)．

图3