的图象 方程有两个不等实数解 的解
方程有两个相等实数解 方程没有实数解 6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识
（1）y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c).
2（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点
2(h,ah?bh?c). （3）抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元
二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
2 （5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的
2222交点，由方程组??y?kx?n?y?ax?bx?c2的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;
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②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点； ③方程组无解时?l与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为
A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c?4x1x2???????aaa?a?2
知识点四：利用二次函数解决实际问题
7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
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九年级上册数学二次函数知识点汇总
