课时跟踪检测（十九） 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
一、题组对点训练
对点练一 复数的加、减运算 1．(2－2i)－(－3i＋5)等于( ) A．2－i C．5i－7
B．－3＋i D．2＋3i
解析：选B (2－2i)－(－3i＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i＝－3＋i.故选B.
2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( ) A．a＝－3，b＝－4 C．a＝3，b＝－4
B．a＝－3，b＝4 D．a＝3，b＝4
解析：选A 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚b＋4＝0，??
数，故?a＋3＝0，
??4－b≠0，
解得a＝－3，b＝－4，故选A.
3．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C 由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
对点练二 复数加、减运算的几何意义
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.
―→―→―→
6．若复平面上的?ABCD中，AC对应的复数为6＋8i，BD对应的复数为－4＋6i，则DA对应的复数是( )
A．2＋14i C．2－14i
B．1＋7i D．－1－7i
―→―→―→
解析：选D 设AC与BD交于点O，则有DA＝DO＋OA
1―1―1→1―→→―→―→
＝DB＋CA＝－(AC＋BD)．于是DA对应的复数为－[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－12222－7i，故选D.
―→―→―→7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则 |AB|＝________.
―→―→―→―→―→
解析：由题意AB＝OB－OA，∴AB对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|AB|＝2. 答案：2
8．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
―→―→―→―→―→因为AD＝OD－OA，所以AD对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为BC―→―→―→―→―→
＝OC－OB，所以BC对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD＝BC，所以它们对
?x－1＝1，?x＝2，??
应的复数相等，即?解得?
??y－2＝－3，y＝－1.??
故点D对应的复数为2－i.
对点练三 复数加、减运算几何意义的应用 9．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z( ) A．在实轴上 C．在第一象限
B．在虚轴上 D．在第二象限
解析：选B 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2， 化简得：x＝0.
10．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 C．等边三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
―→―→
解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
二、综合过关训练
1．若|z|＋z＝3＋i，则z等于( )
4444
A．1－i B．1＋i C．＋i D．－＋i
3333解析：选C 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由|z|＋z＝3＋i得x2＋y2＋x＋yi＝3＋i， 4??x＝3，?x2＋y2＋x＝3，
即? 解得? ?y＝1，??y＝1，
4
所以z＝＋i，故选C.
3
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( ) A．1－3i B．－2＋11i C．－2＋i D．5＋5i 解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i， ∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i， 又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( ) A．2 C．42
B．4 D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x
＋2y
＝223＝42，
3
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值42.
2
4．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于( )
A．10 B．25 C．100 D．200
―→―→
解析：选C 根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1，OM2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，
―→
因为|OM|＝42＋32＝5.所以|M1M2|＝10.
―→―→―--→
所以|z1|2＋|z2|2＝|OM1|2＋|OM2|2＝|M1M2|2＝100.故选C.
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
2??a－a－2＝0，∴?2解得a＝－1. ?a＋a－6≠0，?
答案：－1
6．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 因为|z|＝3，所以a2＋b2＝9.
又z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
?a＝0，?a＝0，??所以?即?
??b＋3≠0，b≠－3.??
又a2＋b2＝9，所以a＝0，b＝3，所以z＝3i. 答案：3i
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i. 又∵z1－z2＝13－2i， ∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
???5x－3y＝13，?x＝2，∴?解得? ?x＋4y＝－2，???y＝－1，
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
―→―→
8．在平行四边形ABCD中，已知AC，DC对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i. ―→
(1)求BC对应的复数； ―→
(2)求BD对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
―→―→―→―→―→
解：(1)因为AC＝AB＋BC＝DC＋BC， ―→―→―→所以BC＝AC－DC， ―→
故BC对应的复数为
z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i. ―→―→―→―→―→
(2)因为BD＝AD－AB＝BC－DC， ―→
所以BD对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中， ―→―→―→―→
AB＝DC＝(－1,2)，AD＝BC＝(4,3)， ―→―→AB·AD225
所以cos∠DAB＝＝＝，
―→―→5×525|AB||AD|因此sin∠DAB＝1－cos2∠DAB＝于是平行四边形ABCD的面积
115―→―→
S＝|AB||AD|sin∠DAB＝5×5×＝11.
25
115
. 25
同步人教A版高中数学选修2-2培优课时跟踪检测(十九) 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
