数列基础知识点和方法归纳
1.数列的通项
求数列通项公式的常用方法：
（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与
项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。
?S1,(n?1)（3）利用Sn与an的关系求an：an??
S?S,(n?2)n?1?n
2. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），通项：an?a1??n?1?d?am?(n?m)d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，
Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
?an?1?0?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.
a?0?n?1.
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（3）{kan}也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)a1?a2???am,am?1?am?1???a2m,a2m?1?a2m?1???a3m?仍成等差数列. (8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
3. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1?amqn?m .an等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy. 前n项和：
?na1 (q?1)?na1 (q?1)??Sn??a1?anqa1(1?qn)??a1n（要注意！） a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1； n?2时，an?Sn?Sn?1.
（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列. （4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. （5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列.
（6）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等比数列，
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（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.
（8）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.（9）等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n解：由
n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1?1?11???? d?a1an?1?［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1an?……?……，Sn?2?
n?1（2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
x?1时，Sn ②
?1?x??nx?nn?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?
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高中数学数列知识点总结（经典）
