凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
第三章 直线与方程
本章教材分析
直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形——直线. 本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.
本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.
直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.
本章教学时间约9课时，具体分配如下（仅供参考）： 3.1.1 3.1.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3及3.3.4
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
整体设计
教学分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.
本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直
倾斜角与斜率 两直线平行与垂直的判定 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 两条直线的交点坐标 两点间的距离 点到直线的距离及两条平行线间的距离 本章复习 约1课时 约1课时 约1课时 约1课时 约1课时 约1课时 约1课时 约1课时 约1课时 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要. 三维目标
1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=
y2?y1（x1≠x2），培养学生树
x2?x1立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点
教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 课时安排 1课时
教学过程
导入新课
思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.
图1
思路2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率. 推进新课 新知探究 提出问题
①怎样描述直线的倾斜程度呢？
②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？
图2
③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？
④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ ⑤正切函数的定义域是什么？ ⑥任何直线都有斜率么？
⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少?
活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
所成的角α叫做直线l的倾斜角. ．．．
可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向.
③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα. ⑤教师介绍正切函数的相关知识.
⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率） ⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角.
②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背.
③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在.
⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=应用示例
思路1
例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角; 而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角; 而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°. 解:直线AB的斜率k1=
y2?y1.
x2?x11＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 7直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练
已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角.
解:kAB=
33?23?3,
1?0∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°, ∴直线AB的倾斜角为60°.
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l.
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定.
解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=
y?0,所以x=y. x?0可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a. 同理,可作直线b,c,l. 变式训练
1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°. 活动:指导学生根据定义直接求解. 解：(1)∵tan0°=0，
∴倾斜角为0°的直线斜率为0.
(2)∵tan60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3.
(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.
2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D
思路2
例1 求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角. 解：kAB=
3?0=1，即tanα=-1，
?5?(?2)又∵0°≤α＜180°， ∴α=135°.
∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.
点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练
求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α. （1）P1(-2,3)，P2(-2,8)； （2）P1(5,-2)，P2(-2,-2). 解：（1）∵P1P2与x轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°. （2）k=tanα=
?2?(?2)=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.
?2?5例2 已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上.
证明：由直线的斜率相同，可知直线AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两直线过公共点A， 所以直线AB与AC重合，因此A、B、C三点共线.
点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
1.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(解：kAB=
1,m)共线，求实数m的值. 22?3m?3=-1，kAC=，
13?2?229m?3=-1.∴m=. 12?22112.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则+的值等于_____________.
ab1答案：
2∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC.∴
例3 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求m的值及|AD|的长.
分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式. 解：D点的坐标为(-
5m?2,)， 22m?2?555∴kAD=2=1.∴m=7.∴D点坐标为(-,).
522??02∴|AD|=()?(5?)?52252252. 2变式训练
过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线l的斜率和倾斜角. 答案：k=-1,倾斜角为
3?. 4知能训练
课本本节练习1、２、３、４. 拓展提升
已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞,
45)∪(-,+∞). 32课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;
（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围； （3）直线斜率的概念；
（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 作业
人教A版高中数学必修二倾斜角与斜率示范教案新
