第十八章 四边形
1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. BADA4D32CC1B几何表达式举例： (1) ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴ …………… (2) ∵∠1+∠2+∠3+∠4=360° ∴ …………… 几何表达式举例： 略 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180° 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 C(3)…………… 几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵ABCD是矩形 ∴AC=BD 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质： （）两组对边分别平行；?1?（?2）两组对边分别相等；?因为ABCD是平行四边形?（ ?3）两组对角分别相等；?4）对角线互相平分；（??（?5）邻角互补. ADOCB4.平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行??（2）两组对边分别相等??（3）两组对角分别相等?ABCD是平行四边形. （4）一组对边平行且相等?D??（5）对角线互相平分?AOB5.矩形的性质： （）具有平行四边形的所有通性;?1?因为ABCD是矩形?（ ?2）四个角都是直角;?3）对角线相等.（? DCDC(2) ABAO(1)(3) B 1
6. 矩形的判定： （1）平行四边形?一个直角??（2）三个角都是直角??四边形ABCD是矩形. （3）对角线相等的平行四边形??DC DCAB (1)(2) AOB(3) D几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) …………… 几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA (3) ∵ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ∠ADB=∠CDB 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∵DA=DC ∴四边形ABCD是菱形 (2) ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 (3) ∵ABCD是平行四边形 ∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 7．菱形的性质： 因为ABCD是菱形 （）具有平行四边形的所有通性；?1??（ ?2）四个边都相等；?3）对角线垂直且平分对角.（?8．菱形的判定： AOCB（1）平行四边形?一组邻边等??（2）四个边都相等??四边形四边形ABCD是菱形. D（3）对角线垂直的平行四边形??AOCB9．正方形的性质： 因为ABCD是正方形 （）具有平行四边形的所有通性；?1??（ ?2）四个边都相等，四个角都是直角；?3）对角线相等垂直且平分对角.（?DCDOAB（1） A几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵ABCD是正方形 C∴AC=BD AC⊥BD ∴…………… B （2）（3） 2
10．正方形的判定： （1）平行四边形?一组邻边等?一个直角??（2）菱形?一个直角??四边形ABCD是正方?（3）矩形?一组邻边等?DC形. (3)∵ABCD是矩形 又∵AD=AB BA∴四边形ABCD是正方形 11．等腰梯形的性质： ?1（）两底平行，两腰相等；?因为ABCD是等腰梯形?（ ?2）同一底上的底角相等；?3）对角线相等.（DA?几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 又∵AD=AB ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (2) ∵ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是等腰梯形 ∴AD∥BC AB=CD (2) ∵ABCD是等腰梯形 ∴∠ABC=∠DCB ∠BAD=∠CDA (3) ∵ABCD是等腰梯形 ∴AC=BD 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是梯形且AD∥BC 又∵AB=CD ∴四边形ABCD是等腰梯形 (2) ∵ABCD是梯形且AD∥BC 又∵∠ABC=∠DCB ∴四边形ABCD是等腰梯形 BOC12．等腰梯形的判定： ??（2）梯形?底角相等??四边形ABCD是等腰梯形 （3）梯形?对角线相等??（1）梯形?两腰相等AD (3)∵ABCD是梯形且AD∥BC O ∵AC=BD ∴ABCD四边形是等腰梯形 CB 13．平行线等分线段定理与推论： ※（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等； （2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；（如图） （3）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（如图） ADC EFDE (2) (3) ABB14．三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. CADEC几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD是梯形且AB∥CD 又∵DE=EA EF∥AB ∴CF=FB (3) ∵AD=DB 又∵DE∥BC ∴AE=EC 几何表达式举例： ∵AD=DB AE=EC ∴DE∥BC且DE= 1BC 2B 3
15．梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. ADECFB几何表达式举例： ∵ABCD是梯形且AB∥CD 又∵DE=EA CF=FB ∴EF∥AB∥CD 且EF=1(AB+CD) 2 一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四
边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于
这一点对称. 三 公式：
1ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高） 22．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高） 1．S菱形 =3．S梯形 =四 常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
1（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线） 2n(n?3). 2矩形2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 形3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯平行四边形形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴. ※5．梯形中常见的辅助线：
ADADADAD正方形菱中点BEFCBE中点BECBCCF
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EADADEADFAFDE中点BCEBCB中点CBGC ※6．几个常见的面积等式和关于面积的真命题：
AD F BEC如图：若ABCD是平行四边形，且AE⊥BC，AF⊥CD那么： AE·BC=AF·CD. A D BC如图：若ΔABC中，∠ACB=90°，且CD⊥AB，那么： AC·BC=CD·AB. A E BDO如图：若ABCD是菱形， 且BE⊥AD，那么： CAC·BD=2BE·AD. AD BC 如图：若AD∥BC，那么： （1）SΔABC =SΔBDC； （2）SΔABD =SΔACD. A E BCD如图：若ΔABC中，且BE⊥AC，AD⊥BC，那么： AD·BC=BE·AC. AD EF BGC如图：若ABCD是梯形，E、F是两腰的中点，且AG⊥BC，那么： EF·AG= S1 B DAS2C如图： 1（AD+BC）AG. 2S1BD?. S2DC
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八年级数学下册第十八章四边形知识点归纳新版新人教版
