二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数
一、选择题
1. （2020内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数??1??4??5y=x2+bx-3的图象上有三点??,y1?、??,y2?、?,y3?，y1、y2、y3的大小关系是（ ） ?5??4???6A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2 考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解． 分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系． 解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2， ∴二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，∴y1＜y2＜y3．故选A． 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
2. （2011台湾，32，4分）如图，将二次函数y＝31x2－999x＋892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2－999x＋892＝0的两根，下列叙述何者正确（ ）
A．两根相异，且均为正根 C．两根相同，且为正根
B．两根相异，且只有一个正根 D．两根相同，且为负根
考点：抛物线与x轴的交点。 专题：综合题。
分析：由二次函数y＝31x2－999x＋892的图象得，方程31x2－999x＋892＝0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．
解答：解：∵二次函数y＝31x2－999x＋892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，
∵方程31x2－999x＋892＝0有两个正实根．
第1页 共15页
故选A．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．
3. .（2011?江西，6，3）已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ） A、（1，0）
B、（2，0） C、（﹣2，0）
D、（﹣1，0）
考点：抛物线与x轴的交点。
分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=x?x1?x21??，可求出它与x轴的另一个交点坐标． 22解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得： 0=1+b﹣2， ∵b=1， ∵对称轴为x??b1??， 2a2∵x?x1?x21??， 22∵x2=﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）． 故选C．
点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x?x1?x21??。 224. (2011襄阳，12，3分)已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k＜4
B．k≤4 C．k＜4且k≠3
D．k≤4且k≠3
第2页 共15页
考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。 专题：计算题。
分析：分为两种情况：：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，求出①＝b2－4ac＝－4k＋16≥0的解集即可；①当k－3＝0时，得到一次函数y＝2x＋1，与X轴有交点；即可得到答案． 解答：解：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0， ①＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0， k≤4；
①当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有交点． 故选B．
点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．
5. （2011湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（
1，1），下列结论：①ac＜0；①a+b=0；①4ac﹣b2=4a；①a+b+c＜0．其中正2确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点：二次函数图象与系数的关系。 专题：计算题。
分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性． 解答：解：根据图象可知： ①c＜0，c＞0 ①ac＜0，正确； ①①顶点坐标横坐标等于
1， 2第3页 共15页
①－
b1=， 2a2①a+b=0正确；
①①顶点坐标纵坐标为1，
4ac?b2①=1；
4a①4ac﹣b2=4a，正确；
①当x=1时，y=a+b+c＞0，错误． 正确的有3个． 故选C．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．
6. （2011广西崇左，18，3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列
结论中：①abc＞0；①2a+b＜0；①a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；①（a+c）2＜b2；①a＞1．其中正确的项是( )
A．①①
B．①①①
C．①①
D．①①①
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：数形结合．
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：①①抛物线的开口向上，①a＞0，
第4页 共15页
①与y轴的交点为在y轴的负半轴上，①c＜0， ①对称轴为x??b?0， 2a①a 、b异号，即b＜0， 又①c＜0，①abc＞0， 故本选项正确； ①①对称轴为x??①﹣b＞2a， ①2a+b＞0； 故本选项错误； ①当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定； 故本选项错误； ①当x=1时，a+b+c=0； 当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；
①（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2； ①（a+c）2=b2 故本选项错误；
①当x=﹣1时，a﹣b+c=2； 当x=1时，a+b+c=0， ①a+c=1，
①a=1+（﹣c）＞1，即a＞1； 故本选项正确；
综上所述，正确的是①①． 故选A．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
b?0，a＞0， 2a第5页 共15页
中考数学真题解析：二次函数与一元二次方程(含答案)
