第四章 大数定律和中心极限定理
一. 填空题
1. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数, p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意 ? > 0, 有limP?|n???Yn??p|????__________. ?n?解. limP?|n???Y??Yn??p|????1－limP?|n?p|????1?1?0
n???n??n?2. 设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪
夫不等式P(|X－Y| ? 6) ? _______. 解. E(X－Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X－Y) = D(X) + D(Y)－2?XY所以 P(|X?Y|?6)?
二. 选择题
1. 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立, Sn?X1?X2???Xn, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, Sn近似服从正态分布, 只要X1,X2,?,Xn ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差
( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布
解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求X1,X2,?,Xn既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.
三. 计算题
1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.
解. 假设X表示400台机器中发生故障的台数, 所以X～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: limP?n??D(X)D(Y)= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3
D(X?Y)31?? 263612X?400?0.021??x??2??400?0.02?0.98????x??e?t22dt??(x)
所以 P(X?2)?1?P(X?1)?1?P?X?8?7???
400?0.02?0.98??400?0.02?0.98 ? 1－?(－2.5) = ?(2.5) = 0.9938.
2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.
解. 假设X表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X～B(10000, 0.7) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: limP?n??X?70001??x???00.3?0.72??1000???x??e?t22dt??(x)
) 所以 P(6800?X?7200 ?P?6800?7000X?70007200?7000????
10000?0.3?0.710000?0.3?0.7??10000?0.3?0.7? ? ?(4.36)－?(－4.36) = 2?(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999.
《概率论与数理统计》习题第四章大数定律和中心极限定理
