课下层级训练(四十一) 空间角问题
[A级 基础强化训练]
π
1．三棱锥A -BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C3的大小为( ) π
A．
3π2πC．或
33
2π
B．
3ππD．或
63
ππ2π
【答案】C [∵二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，∴二面角A-BD-C的大小为或.]
3332．在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于( ) A．
3
2
B．
10
10
3
C． 52D． 5
【答案】D [建立如图所示的空间直角坐标系，
1??1??则A(1,0,0)，M?1，，1?，C(0,1,0)，N?1，1，?， 2??2??1?→?1?→?
∴CN＝?1，0，?，AM＝?0，，1?.
2???2?
→→
AM·CN2→→
故cos〈AM，CN〉＝＝＝.]
→→555|AM||CN|×
22
3．(2024·山东曲阜检测)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝
10＋0＋
2
CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
1A． 10C．
30 10
2B． 5D．
2 2
【答案】C [建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
1
→→
设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)， 故BM与AN所成角θ的余弦值 →→|BM·AN|330
cos θ＝＝＝.]
→→106×5|BM||AN|
4．(2024·山东潍坊月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( ) A．
3 2
B．
3 3
3C． 52D． 5
【答案】B [设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， →→→
所以BB1＝(0,0,1)，AC＝(－1,1,0)，AD1＝(－1,0,1)．
→→
令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC＝－x＋y＝0，n·AD1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，→
所以sin θ＝|cos〈n，BB1〉|＝
13×1
＝3.] 3
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) 1A． 2C．
3 3
2B． 3D．
2 2
【答案】B [以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
2
设棱长为1，则A1(0,0,1)，
E?1，0，?，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝?1，0，－?. 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，
22
?
?
1?
→→
?
??
1?
?
→??A1D·n1＝0，
z)，∴有?
→??A1E·n1＝0，
y－z＝0，??
即?1
1－z＝0，??2
解得?
?y＝2，???z＝2.
∴n1＝(1,2,2), ∵平面ABCD的一个法向量
22
为n2＝(0,0,1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝，
3×132
即所成的锐二面角的余弦值为.]
3
6．(2024·湖南十校联考)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________.
1
【答案】 [设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD，∵等边三角形ABC和BCD所在平面互
4相垂直，∴OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0，3)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(3，0,0)， →→
∴AB＝(0，－1，－3)，CD＝(3，－1,0)， →→AB·CD11→→
∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，
→→2×24|AB||CD|1
∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为.]
4
7．(2024·山东临沂模拟)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面
A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为________.
【答案】
39
[取AD中点O，连接OA1，易证A1O⊥平面ABCD．建立如图所示的空间直角坐标系， 13
→
得B(2，－1,0)，D1(0,2，3)，BD1＝(－2,3，3)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设BD1与平面
3
→
|BD1·n|3
ABCD所成的角为θ，∴sin θ＝＝，
→4|BD1||n|∴tan θ＝
39.] 13
8．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________.
→→→→
【答案】60° [∵CD＝CA＋AB＋BD， →∴|CD|＝
CA＋AB＋BD→→→
2
＝
→→
36＋16＋64＋2CA·BD＝→→
116＋2CA·BD＝217.
→→→→→→
∴CA·BD＝|CA|·|BD|·cos〈CA，BD〉＝－24.
1→→→→
∴cos〈CA，BD〉＝－. 又所求二面角与〈CA，BD〉互补，∴所求的二面角为60°.]
2
9．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．
【答案】解 如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
→→
设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，∴BD＝(0，－1,2), A1C＝(－2,0，－2)，
→→BD·A1C10→→
∴cos〈BD，A1C〉＝＝－.
→→5| BD||A1C|∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为
10. 5
10．(2017·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段
PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.
4
(1) 求证：M为PB的中点； (2)求二面角B-PD-A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】(1)证明 如图①设AC，BD交于点E，连接ME， 因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形， 所以E为BD的中点， 所以M为PB的中点．
图①
(2)解 如图②，取AD的中点O，连接OP，OE. 因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD， 所以OP⊥平面ABCD.
因为OE?平面ABCD，所以OP⊥OE. 因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD.
→→
如图②，建立空间直角坐标系O -xyz，则P(0,0，2)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，BD＝(4，－4,0)，PD＝(2,0，－2)．
图②
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·BD＝0，则?
→??n·PD＝0，
?4x－4y＝0，
即?
?2x－2z＝0.
令x＝1，则y＝1，z＝2. 于是n＝(1,1，2)．
5
2024年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练41立体几何中的向量方法——空间角问题(含解析)
