2014北约
一、解答题
1.圆心角为60°的扇形面积为6π，求它围成的圆锥表面积 2.将10人分成3组，一组4人，两组各3人，与多少种分法 3.如果函数f(x)=lg(x?2ax?a)的值域为R，求实数a的取值范围 4.设f(2a?2bf(a)?2f(b)，且f(1)=1,f(4)=7，求f(2014)的值 )=
331的最值 xy5.已知x+y=-1,且x,y都是负数，求xy+
6.已知f(x)=arctan
2?2x11+c在(-,)是奇函数，求c
1?4x447.证明tan3°是无理数
8.已知实系数二次函数f(x)和g(x)满足3f(x)+g(x)=0和f(x)-g(x)=0都有双重实根，如果已知f(x)=0有两个不同的实根，求证：g(x)=0没有实数根
9.a1,a2,...,a13是等差数列，M={ai?aj?ak|1≤i 10.已知x1,x2,...,xn∈R?，且x1x2......xn?1， n求证(2?x1)(2?x2)...(2?xn)≥(2?1) 7216是否可以同时在M3##Answer## 1.【简解】扇形所在的圆半径为L，围成的圆锥底面半径为r，则解得L=6,r=1，圆锥的表面积=πr+πrL=7π 433C10C6C32.【简解】=2100 2!1?2??L=6π，2πr=L，23323.【简解】t=x?2ax?a的值域包含(0,+∞),有零点,△=4a?4a≥0,a≥1或a≤0 4.【解析】由已知f(2)=f(224?2?1f(4)?2f(1)1?2?4f(1)?2f(4)=3,f(3)=f(=5, )=)= 3333猜想f(n)=2n-1 证明：n=1,2,3时，猜想成立 假设n≤k时，猜想成立，则f(k-1)=f[(k?1)?2(k?2)f(k?1)?2f(k?2)]= 33f(k+1)=3f(k-1)-2f(k-2)=3(2k-3)-2(2k-5)=2k+3，即n=k+1时等式仍成立 故f(n)=2n-1 5.【简解】设t=xy=|xy|=|x||y|≤(|x|?|y|2?x?y211)=()=，等号成立当且仅当x=y=-,2242 则xy+ 111117=t+在(0,]上单调减，故t=时，有最小值，无最大值 xy444t6.【简解】f(0)=0，解得c=-arctan2，检验知满足条件，故c=-arctan2 7.【简解】假设tan3°是有理数，由二倍角公式知tan6°、tan12°、tan24°是有理数，于是tan30°=tan(6°+24°)是有理数，即 3是有理数，矛盾。故tan3°是无理数 3228.【简解】由已知，设3f(x)+g(x)=a1(x?b1),f(x)-g(x)=a2(x?b2),a1a2≠0 a1(x?b1)2?a2(x?b2)2a1(x?b1)2?3a2(x?b2)2则f(x)?,g(x)? 44因f(x)=0有两个不等的实数根，故a1、a2异号，b1?b2 从而g(x)>0或g(x)<0恒成立，g(x)=0无实数解 9.【解析】设an=dn+b,则ai?aj?ak=d(i+j+k)+3b,设i+j+k=t∈{6,7,8,…,36} 则M={td+b|t∈{6,7,8,…,36}},若0, 716,∈M，则存在x,y,z∈{6,7,8,…,36}，有 237??(y?x)d???xd?b?0?z?x322????716y?x21???yd?b?，消去b得到，再消去d得到 (z?x)d????23???z?y?916?3???z?x32zd?b?(z?y)d???3?2??z?x?32?y?x?21?不妨设x ?z?y?9??x,y,z?{6,7,8,...,36}716故0，，不能同时在M中 2310.【解析】左边=2?2nn?1n?xi?2i?1n?21?i?j?n?xixj+…… +2n?k1?i1?i2?...?ik?n?xi1xi2...xik+……+x1x2......xn 1根据均值不等式 1?i1?i2?...?ik?n?xi1xi2...xik≥Cnk(1?i1?i2?...?ik?n?xi1xi2...xik)Cn k 1=Cn[(x1x2...xn)kk?1Cn?1]Cn=Cnk n?11+2Cnn?2nn2+…+Cn=(2?1) Cnk于是左边≥2+2 n
2014北约 高校自主招生数学试题及解答
