第9讲
一、选择题
离散型随机变量的均值与方差
1.已知离散型随机变量X的概率分布列为
XP则其方差D(X)＝(A.1
)B.0.6
C.2.44
D.2.4
10.53m50.2解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案C
2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(A.100解析
)
B.200
C.300
D.400
设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)
＝2E(ξ)＝2×1000×0.1＝200.答案B
3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(A.n＝4，p＝0.6C.n＝8，p＝0.3解析
)
B.n＝6，p＝0.4D.n＝24，p＝0.1
由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且
1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.答案B
4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(A.6，2.4C.2，5.6解析
B.2，2.4D.6，5.6
)
由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)
＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B
5.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是(A.4
B.4.5
C.4.75
)D.5
11解析由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝3＝，C510C23C2633P(X＝4)＝3＝，P(X＝5)＝4＝＝，C510C31055所以E(X)＝3×答案B二、填空题
6.设X为随机变量，X～B＝2)等于________.解析
由X～Bn，13，E(X)＝2，得
n，13，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X
133＋4×＋5×＝4.5.10105
1np＝n＝2，∴n＝6，
3
12141－80则P(X＝2)＝C23＝.63243答案
80243
17.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
5解析
设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，3a＝，15＋a＋b＝1，
5则解得1b＝，a＋2b＝1，5
1312所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.5555答案
25
8.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7
000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元.解析
1由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝，∴获得一、二、三等奖的概率分别为7
124124，，，∴所获奖金的期望是E(X)＝×7000＋×5600＋×4200＝5000元.777777答案
5000
三、解答题
9.(2017·成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
态度应该取消调查人群在校学生社会人士2100人600人120人x人y人z人应该保留无所谓已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.解
(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以
120＋x
＝0.05，3600
解得x＝60.
所以持“无所谓”态度的人数为3600－2100－120－600－60＝720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×
360＝72人.3600
(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，
12060所以在所抽取的6人中，在校学生为×6＝4人，社会人士为×6＝2人，
180180于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，
21C11C234C24C2P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，C65C650C314C2P(ξ＝3)＝3＝，C65
所以ξ的分布列为
ξP
115
235
315
131所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
555
10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.解
(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中
3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则C12C234P(A)＝2＝，P(B)＝4＝，C55C355∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为321－4P(AB)＝×5＝.
525C21(2)P(C)＝5＝，C326由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝P(ABC)＝1－132＝.25
1－231－5×5×P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
3121231－1－1－1－21－31－119＝×5×2＋5××2＋5×5×＝，55250P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
132231－21－11－3119＝××2＋×5×＋5××＝，555252502313P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，55225∴X的分布列为
XP
∴E(X)＝0×
0325
11950
21950
3325
3191933＋1×＋2×＋3×＝.255050252
11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(A.85
B.655，3m＋3，4C.5
D.25
)
解析由题意，X～B又E(X)＝
5×3＝3，∴m＝2，m＋3
331－365，故D(X)＝5××5＝.55
则X～B答案B
5，12.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为(A.16
)
B.13
1C.2
D.23
解析依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.
2C2C3517·A27且P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝＝，C9122C39
2021高考数学(理)一轮复习题库《第11章 第9讲 离散型随机变量的均值与方差》
