不等式证明的基本方法
一、基本不等式
22
定理1 如果a, b∈R, 那么 a+b≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么 a?b?ab 2当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
结论：已知x, y都是正数, （1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 p；
12（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 s4小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。
二、三个正数的算术-几何平均不等式
a?b?c3
定理3 如果a,b,c?R?，那么?abc，当且仅当a?b?c时，等号成立。3
即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a1,a2,L,an, 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：
a1?a2?Lann ?a1a2Lan,当且仅当a1?a2?L?an时，等号成立。
n三、不等式证明的基本方法 知识点一：比较法
比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。 1、作差比较法：
常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小. 理论依据： ①
；②
；③
判断
。一般步骤如下：
第一步：作差；
第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；
第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论. 第四步：得出结论。
注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。 2、作商比较法
常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 理论依据：若 基本步骤:
、
，则有①
变形（约分、化简）
判断
；② ；③ .
第一步：判定要比较两式子的符号 第二步：作商
第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；
第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论. 第五步：得出结论。
注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。 知识点二：分析法
分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法. 思维过程：“执果索因”.
证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。 适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常采用分析法证明不等式。 知识点三：综合法
综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。 思维过程：“执因索果” 适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式. 知识点四：反证法
反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。 适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。
注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全. 知识点五：放缩法
放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。
理论依据：不等式的传递性：a>b,b>ca>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。
注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。 规律方法指导
1、不等式证明的常用方法：
比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。 2、反证法的证明步骤：
①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；
②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾； ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立； ④肯定结论：原命题正确。 3、放缩法的常用技巧：
①在恒等式中舍掉或者加进一些项；
②在分式中放大或缩小分子或分母； 例如：
③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1) ④应用基本不等式进行放缩。例如：若 ，则有 ； 若 ，则有 。 这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段 经典例题透析 类型一：比较法证明不等式 例1、用作差比较法证明下列不等式： （1） ； （2） (a，b均为正数，且a≠ b) 【变式1】证明下列不等式： 2222222 (1)a+b+2≥2(a+b) ； (2)a+b+c+3≥2(a+b+c) ；(3)a+b≥ab+a+b-1 【变式2】已知a，b∈ ，x，y∈，且a+b=1，求证：ax+by≥(ax+by) 222 总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。 例2、用作商比较法证明下列不等式： （1） (a，b均为正实数，且a≠b) （2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等） abba 【变式2】已知a，b均为正实数，求证：ab≥ab 总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商 比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。 类型二：综合法证明不等式 222222 例3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc 总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。 + 【变式】x, y,z∈R, 求证： 类型三：分析法证明不等式 例4、已知a,b>0，且2c>a+b，求证： 总结升华： 1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。 2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。 3．基本思路：执果索因 4. 格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。 3322 【变式1】求证：a+b>ab+ab(a，b均为正数，且a≠b) + 【变式2】a , b, m∈R，且a 【变式3】求证： 【变式4】设x>0，y>0，x≠y，求证： 类型四：反证法证明不等式 例5、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于 。 思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。 总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于 ”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组成 的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于”，结构简单明了， 为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。 【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a, b, c>0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0同理可证：b > 0, c > 0 类型五：放缩法证明不等式 + 例6、若a,b,c,dR，求证： 总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即 进行放缩。 【变式1】求证： 【变式2】 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1
四川省成都市第七中学2024学年高中数学 不等式证明的基本方法课后作业 新人教版必修2
