中难提分突破特训(二)
1．已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：
x y
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
^
^
^
2 3 4 6 6 7 8 10 10 12 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当x＝20时，y的值．
－－
∑x^^iyi－nxyi＝1－－
参考公式：b＝n，a＝y－b x.
－22
∑xi－nxi＝1
^
n解 (1)散点图如图所示．
－1
(2)依题意，x＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
5－
5
y＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
15
i＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ?x2i＝1
5
?xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
i＝1
－－?xiyi－5xy^
5
i＝1
b＝5
2
i－5x?x2
－
272－5×6×7.644
＝＝＝1.1， 2220－5×640
i＝1
^
∴a＝7.6－1.1×6＝1，
^
^
∴线性回归方程为y＝1.1x＋1，故当x＝20时，y＝23.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n－2kn(k∈N)，Sn的最小值为－9.
- 1 -
2
*
(1)确定k的值，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1. 解 (1)由已知得Sn＝n－2kn＝(n－k)－k， 因为k∈N，当n＝k时，(Sn)min＝－k＝－9， 故k＝3.所以Sn＝n－6n.
因为Sn－1＝(n－1)－6(n－1)(n≥2)，
所以an＝Sn－Sn－1＝(n－6n)－[(n－1)－6(n－1)]， 得an＝2n－7(n≥2)．
当n＝1时，S1＝－5＝a1，综上，an＝2n－7. (2)依题意，bn＝(－1)·an＝(－1)(2n－7)，
所以T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)(4n－7)＋(－1)＝5－2n.
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O.以BD为折痕，将△
2n2n＋1
2
2
22
*
2
2
2
2
nnn·[2(2n＋1)－7]＝5－
ABD折起，使点A到达点A1的位置．
(1)若A1C＝6，求证：平面A1BD⊥平面ABCD； (2)若A1C＝22，求三棱锥A1－BCD的体积．
解 (1)证明：因为∠BCD＝60°，四边形ABCD为菱形，所以△BCD为正三角形，
BD⊥OA，BD⊥OA1，OC＝OA＝OA1＝3，
因为OC＋OA1＝6＝A1C，所以OA1⊥OC， 所以OA1⊥平面ABCD，OA1?平面A1BD， 所以，平面A1BD⊥平面ABCD.
(2)由于BD⊥OC，BD⊥OA1，所以BD⊥平面A1OC， 在△A1OC中，OA1＝OC＝3，A1C＝22， 1
所以，S△A1OC＝×22×
2
13
3
2
2
2
2
－2
2
＝2， 22
. 3
(θ为参数)，在以O为极点，x轴
V三棱锥A1－BCD＝×S△A1OC×BD＝×2×2＝
4．在直角坐标系xOy??x＝3cosθ，
中，曲线C1：?
?y＝2sinθ?
13
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cosθ＝0.
- 2 -
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值． 解 (1)由ρ－2cosθ＝0，得ρ2
－2ρcosθ＝0. ∵ρ2
＝x2
＋y2
，ρcosθ＝x，∴x2
＋y2－2x＝0， 即曲线C2
2
2的直角坐标方程为(x－1)＋y＝1. (2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1. 设曲线C1上的动点M(3cosθ，2sinθ)， 由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. ∵|MC22|＝
3cosθ－1
2
＋4sinθ＝5cos2
θ－6cosθ＋5，
∴当cosθ＝345时，|MC5
2|min＝5，
∴|MN|－1＝45
min＝|MC2|min5
－1.
5．已知不等式|2x－3| －mx＋n<0(m，n∈R)的解集相同且非空．(1)求m－n； (2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2 ＋b2 ＋c2 的最小值． 解 (1)当x≤0时，不等式|2x－3| －mx＋n＝0的两根， ∴??? 1－m＋n＝0，?9－3m∴? m＝4， －n＝1. ? ＋n＝0， ???n＝3，∴m? (2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1， 22∵ a＋b2 2 ≥ab， b＋c2 ＋c2 2≥bc， a22≥ac， 2∴a2 ＋b2 ＋c2 ＝ a＋b22 ＋ b2＋c2＋ a2＋c2 2 2 ≥ab＋bc＋ac＝ ?? 3? 当且仅当a＝b＝c＝ 3时取等号??? . ∴a2 ＋b2 ＋c2 的最小值是1. - 3 - 1
2024届高考数学大二轮复习专题中难提分突破特训二文
