一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点
（1）求抛物线和直线BC的解析式； （2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（
55,）；（4）符合条件24的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）． 【解析】 【分析】
（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；
（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；
（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；
（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD时，1?m2?22，②当DF＝BD时，m2?4m?5?22，③当BF＝DF时，1?m2?m2?4m?5，m＝1，然后代入即可． 【详解】
（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1， 将B（2，0）代入， 0＝a（2﹣1）2﹣1， ∴a＝1，
抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x， 将B（2，0）代入y＝kx+2， 0＝2k+2，
k＝﹣1，
∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2；
?y??x?2（2）联立?， 2y?x?2x?解得??x1??1?x2?2，?，
?y1?3?y2?0∴C（﹣1，3），
∵A（1，﹣1），B（2，0）， ∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2， AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20， BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形；
（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．
∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°， ∴点A与A'关于直线BC对称， AB＝A'B，
可知△AFB≌△A'HB（AAS）， ∵A（1，﹣1），B（2，0） ∴AG＝1，BG＝OG＝1， ∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3， ∴A'（3，1）， ∵C（﹣1，3）， ∴直线A'C：y??15x?， 2215??y??x?联立：?22，
2??y?x?2x5?x??x??1??2解得?或?，
5?y?3?y??4?∴E（
55，）； 24（4）∵抛物线的对称轴：直线x＝1， ∴设F（1，m），
直线BC的解析式：y＝﹣x+2； ∴D（0，2） ∵B（2，0），
x1∴BD＝
x2BF?(2?1)2?(0?m)2?1?m2，
DF?(1?0)2?(m?2)2?m2?4m?5，
①当BF＝BD时，1?m2?22， m＝±7，
∴F坐标（1，7）或（1，﹣7） ②当DF＝BD时，m2?4m?5?22， m＝2±7，
∴F坐标（1，2+7）或（1，2﹣7） ③当BF＝DF时，1?m2?m2?4m?5， m＝1，
F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．
综上，符合条件的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．
【点睛】
考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大
值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，
5）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）363?315?，E??,? . 8?24?【解析】 【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标； （3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；
（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标． 【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
?a?b?3?0∴?，
9a?3b?3?0??a??1解得：?．
b??2?∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3， ∴其对称轴为x＝
?2＝﹣1， 2∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝∴P点坐标为：P1（﹣1，
5， 35）； 3∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±10， ∴P点坐标为：P2（﹣1，10）或P3（﹣1，﹣10）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6， ∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，
5）； 3（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．
设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．
人教中考数学易错题精选-二次函数练习题及答案
