第十八章专题：《平行四边形》几何证明与计算（二）
1. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC=2OC，BF=EF，G为CE中点，连接FG，AG （1）若CE=8，∠ACE=13∠ACB，求AB； （2）求证：FG=AG． 43
【解答】 （1）解：延长EF与BC交于点K ∵菱形ABCD，∴AC⊥BD， ，∴∠EBF=30°， ∵BC=2OC，∠OBC=30°，∠ABC=60°，∠EKB=90°，∠ACB=60°∴∠BEF=30° ∠ACE=11，∠ECK=45°， ∠ACB=×60°=15°44在Rt△CKE中，EK=CK=2CE=2×8＝42， 223346在Rt△EKB中，BK=EK＝×42＝ 3334646，即AB=42+； ∴BC=CK+BK＝42+33（2）证明：延长FG至点H，使GH=FG，连接CH，AH． ∵G为CE中点，∴EG=GC， 在△EFG与△CHG中， ， FG＝GH，∠EGF＝∠CGH，EG＝GC，△EFG≌△CHG（SAS）∴EF=CH，∠CHG=∠EFG，∴CH=BF，CH∥EF， 由（1）可知∠EBC=60°，∠EKB=90°，∠BCD=120°， ，∠ACH=∠BCD-∠HCB=120°， ∴∠HCB=90°-90°=30°∴∠ABF=∠ACH， 在△AFB与△AHC中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACH，BF＝CH， ， △AFB≌△AHC（SAS）∴AF=AH，∠BAF=∠CAH ∵FG=GH，∴AG⊥FG，∴∠FAG=∠HAG ，∴∠CAH+∠FAC=60°，即∠FAH=60°， ∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=60°，∴FG＝∴∠FAG=∠HAG=30°3AG 3
2. 如图所示，在菱形ABCD中，AC是对角线，CD=CE，连接DE．
（1）若AC=16，CD=10，求DE的长．
（2）G是BC上一点，若GC=GF=CH且CH⊥GF，垂足为P，求证：2DH=CF．
【解答】 （1）解：连接BD交AC于K． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AK=CK=8，在Rt△AKD中，DK=6， ∵CD=CE，∴EK=CE-CK=10-8=2， 在Rt△DKE中，DE=210． （2）证明：过H作HQ⊥CD于Q，过G作GJ⊥CD于J． ∵CH⊥GF， ∴∠GJF=∠CQH=∠GPC=90°，∴∠QCH=∠JGF， ∵CH=GF，∴△CQH≌△GJF（AAS），∴QH=CJ， ∵GC=GF，∴∠QCH=∠JGF=∠CGJ，CJ=FJ=CF， ∵GC=CH，∴∠CHG=∠CGH， ∴∠CDH+∠QCH=∠HGJ+∠CGJ， ∴∠CDH=∠HGJ， ∵∠GJF=∠CQH=∠GPC=90°，∴∠CDH=∠HGJ=45°， ∴DH=2QH，∴2DH=2QH=CF． 3. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F． （1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°．求AE的长．
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【解答】 （1）证明：在菱形ABCD中，OC=AC．∴DE=OC． ∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形． ∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE=CD． （2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED中，CE=OD＝3． 在Rt△ACE中，AE=7．
4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，O为AC、BD的中点，AB=10，AC=16，
BD=12．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请证明；
（2）点P在AO上，点Q在DO上，且AP=2OQ．若PQ=BQ，求AP的长．
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【解答】 （1）四边形ABCD是菱形． ∵O为AC、BD的中点， ∴OA=OC=AC=8，OB=OD=BD=6． ∴四边形ABCD为平行四边形． ∵AO2+BO2=100，AB2=100． ． ∴AO2+BO2=AB2．∴∠AOB=90°， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠AOB=90°∴四边形ABCD是菱形． （2）设OQ=x，则AP=2x，OP=8-2x，BQ=6+x． ，∴PQ2=OP2+OQ2， ∵∠POQ=90°又∵PQ=BQ，∴PQ2=BQ2，∴（6+x）2=（8-2x）2+x2， 解得：x1＝11?93，，x2＝11-93． 22又∵8＞x＞0，∴AP=2x=11-93． 1212
第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》几何证明与计算(二)—解析版
