武汉理工大学考试试卷(A卷)
2012 ~2013 学年 1 学期 高等数学A(上) 课程 时间120分钟
80 学时, 5 学分,闭卷,总分100分,占总评成绩 70 %,20XX年01月 22日 题号 满分 得分 一 15 二 15 三 40 四 10 五 12 六 8 七 八 九 十 合计 100
一、选择题(本题共5小题,每题3分)
1、若x?0时,x?tanx与x是同阶无穷小,则( )
k?A? k?0 ?B? k?1 ?C? k?2 ?D? k?3
x2f(x)?2f(x3)2、已知f(x)在x?0处可导,且f(0)?0,则lim?( )
x?0x3?A? ?2f?(0) ?B? ?f?(0) ?C?
x2+x3、曲线y=2渐近线的条数为( )
x?1f?(0) ?D? 0
?A? 0 ?B? 1 ?C? 2 ?D? 3
4、设f(x),g(x)具有二阶导数,且g??(x)?0.若g(x0)?a是g(x)的极值,则f[g(x)]在x?x0
处取极大值的一个充分条件是( )
?A?f?(a)?0 ?B? f?(a)?0 ?C? f??(a)?0 ?D? f??(a)?0
5、设Ik??k?0esinxdx(k?1,2,3),则( )
x2?A?
I2?I1?I3
I1?I2?I3; ?B? I3?I2?I1; ?C? I2?I3?I1 ; ?D?
二、填空题(本题共5小题,每题3分)
1、limxsinx??2x? . 1?x22、设f(x)??x?1?11?etdt,,则y?f(x)的反函数x?f(y)在y?0的导数
dxdyy?0?
3、设f(x)的一个原函数为4、曲线y?tanx,则?xf?(x)dx? . x121x?lnx(1?x?e)的弧长s? . 425、某工程需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而作功。设
土层对桩的
阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k),汽锤第一次击打将桩打
进地下a米。
若汽锤每次击打桩时所作的功相同,则汽锤击打桩2次后,可将桩打进地下
米深.
三、计算题(本题共5小题,每题8分)
1、
?ln(1?x)?e??limx?x?0?1x?1.
?x?sintd2y2、设函数y?y(x)由方程组?所确定,求2dx?y?tsint?costx33、设f(x)?2,求f(n)(x)(n?1).
x?14、?1x2t??4.
1?x2dx
5、
???1lnxdx
(1?x)2四、计算题(本题满分10分)设 f(x)??x?x?2sintdt.
(1)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(2)求f(x)的值域.
五、应用题(本题满分12分)过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及
x轴所围成
的平面图形为D.(1)求D的面积A;(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
六(本题共2小题,满分8分) 设奇函数f?x?在??1,1?上具有二阶导数,且f?1??1,证明:
(1)存在???0,1?,使得f?????1; (2)存在????1,1?,使f??????f?????1.
武汉理工大学考试试题答案(A卷)
2012 ~2013 学年 1 学期 高等数学A 课程
一.单项选择题(每题3分): D B C B D 二. 填空题(每题3分):
1. 2; 2. 11?e?12tanxe2?1?C; 4. ; 3. secx? ; 5. 2a.
4x21x三.计算题(本题共5小题,每小题8分,共40分) 1、解 设y???ln(1?x)?e?x???1,则lny?ln?ln(1?x)??lnx,(2分) xe?1 limlny?lim?x?011??? (4分)
x?0(1?x)ln(1?x)x???1?x?(1?x)ln(1?x)1?1?ln(1?x)1?lim?lim??(7分) 原式?e2 2x?0x?0x2x2(8分)
d2y1dytcost,??t,2、解 (4分) 2?dxcostdxcost3、解 f(x)?x?d2ydx2t??4?2. (8分)
1?11?1??1?1?,(3分) ??x?x?1?x?1????????2?x?1x?1?2则 f(n)?(?1)nn!?11(x)??(n?1) (8分) ?n?1n?1?2??x?1????x?1??4、解
?x2sec2tcostdx??dt?dt (5分) 22?2tantsectsint1?x11?x2?C (8分) ??csct?C??x5、解
?????1????lnxlnx11?1?dx??lnxd????dx (4分) ???1?11?xx(1?x)21?x1?x??1????
111x?dx?ln?ln2 (8分) 1?xxx?11??四.(本题10分)
解 (1)f(x??)??x?3?2x??sintdt (2分)
x??2t?u???xsin(u??)du?f(x). (4分)
(2)f?(x)?cosx?sinx,
令f?(x)?0, x?则 f()??4, x?3?. (7分) 4?42, f(3? (9分) )?2?2, f(0)?1 , f(?)?1,42.(10分)
所以可得f(x)的值域是:2?2?f(x)?五.(本题12分)
解 (1)设切点的横坐标为x0,则曲线y?lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是
y?lnx0?1(x?x0). (2分) x0由切线过原点:lnx0?1?0, x0?e?切线方程 y?面积 A?1x. (4分) e1y(e?ey)dy?e?1. (6分) ?021(2)所求旋转体的体积为:
e1V?V1?V2??e2???(lnx)2dx (9分)
131???e2??(e?2)?(e2?3e?6) (12分) 33六.(本题8分)
证明 (1)设F(x)?f(x)?x,F(0)?F(1)?0, (2分) ????0,1?,使得F?????0,即f?????1;(4分) (2)设G(x)?ex[f?(x)?1],G(?)?0, (6分) f?x?为奇函数,f??x?为偶函数,从而G(??)?0.
???(??,?)???1,1?,使G?(?)?0,从而f??????f?????1.(8分)