专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数 的图象和性质求解?高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：
（1）零点所在区间一-
零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数 的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等 .本专题精选高考压轴题及最新高考模拟 压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力
【典型例题】
类型一已知零点个数，求参数的值或取值范围
r
QI
例1.【2018年理新课标I卷】已知函数- - ' …若g （x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [ -, 0) B. [0 , +? C. [
+R)
D. [1 , +R)
【答案】C
【解析】 画出函数X^-7：的图像在y轴右侧的去掉，再画出直线=-',之后上下移动，可以发现当直线过 点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程取有两个解，也就是函数 忒遼有两个零点，此时满足 --，即一一，故选C.
例2.【2018年理数全国卷II】已知函数冗才 -
.
（1 ）若??二证明：当J㈡时，.-；
（2）若?］在也“吨只有一个零点，求■■.
【答案】（1）见解析（2）「 【解析】
(1 )当?.二一时，決逬4二等价于你产一
-_ ■.
1
设函数织閃-(护中丁陌i,则胪住 一 —「一
- - ■.
当■=-时，出進览:氐血，所以独年詢在肚：单调递减. 而机遲=鳥 故当 m时，忒媳:匹G：」，即峨谒匹 (2)设函数i和細
-
.
代述在艸咔旳只有一个零点当且仅当诚迸:在谕*p只有一个零点.
(i) 当叙心址:时，::⑷::i；，邂罚没有零点； (ii)
当.「：：.)时，魁J： -'-.
当E阴;时，孑録沪为；当沁口弦詔：:两时，烬::;[,).： 所以毬迫在:道担单调递减，在 徉屛明:单调递增.
故;:.].1 :是址斫在「- 的最小值.
① 若 D：M,即刃雌牛讨心在-- 没有零点；
② 若述遵：我,即 二-，逾比在('，曲：只有一个零点；
③ 若就逐程叽即；]，由于 疋;=L,所以筑闾在輕彩;有一个零点，
由(1)知，当?二：时，「：：，所以-“一.一一一-一——「.——-一- 故和;⑴:在f肆』加;：：有一个零点，因此赋埴在加.“懐)有两个零点.
综上，尤曲在糾心￡只有一个零点时， -].
类型二利用导数确定函数零点的个数
例3.【2018年全国卷II文】已知函数于宓-丄“ - ZU H 1；?
(1 )若??二-：,求.泸笛的单调区间； (2 )证明：宾；'沈只有一个零点.
【答案】(1) f (乂)在(-于鼻一2存)，(3+2<1, +8)单调递增，在(齐一2頁，手+ 2頁)单调递减. (2) f (x)只有一个零点.
2
【解析】
(1) _ :.当
3
当 a=3 时，f (x) = ? 「 :, f z(x) =：-「一 一：.令 f '(x) =0 解得 x=： _ :或 x=
x �(-oo^ — 2\\'3)U^^ + 2苗,+ a)时，f ' (x) >0 ；当 x�(￡ — 2空3，玄 + 2冉)时，f ' (x) <0.故 f (x)在(-op $- 2丫3),($ +氛：3, +8)单调递增，在(亲一2需，$ + 2再)单调递减.
(2) 由于，所以打彳:=“等价于—— --.
设 9 何二;二+ ■ - 3d,则 g ' (x) =：.；：+：： ； >0 仅当 x=0 时 g ' (x) =0，所以 g 单调
递增.故g (x)至多有一个零点，从而 f (x)至多有一个零点.
又 f( 3a-1) =- 一 — - — — , f (3a+1) = ■，故 f (x)有一个零点.
综上，f( x)只有一个零点.
类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式
2
例4.【2017课标II，理】已知函数 f x ax ax xln x，且f x 0 .
(1)求 a ；
2
2
⑵证明：f x存在唯一的极大值点 x0，且e f x0
2 .
【答案】(1)a 1； (2)证明略. 【解析】
x)在(-o + o)3
(
专题06重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
