(8字图)
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25、对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”.
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由； （2） 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D（m）=.求满足D（m）是完全平方数的所有m.
【答案】(1)1188, 2475; 9900(符合题意即可) (2)1188 ,2673 ,4752 ,7425. 【解析】解：
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?1?猜想任意一个“极数”是99的倍数。理由如下：设任意一个“极数”为xy?9?x??9?y??其中1?x?9,0?x?9,且x,y为整数?xy?9?x??9?y?=1000x+100y+10?9?x?+?9?y? =1000x?100y?90?10x?9?y ?990x?99y?99 ?99(10x?y?1)?x,y为整数，则10x?y?1为整数，则任意一个“极数”是99的倍数.
?2?设m?xy?9?x??9?y??1?x?9,0?x?9且x,y为整数?99?10x?y?1? 则由题意可知D?m???3?10x?y?1?33 1?x?9,0?y?9
?33?3?10x?y?1??300 又D?m?为完全平方数且为3的倍数 ?D?m?可取36,81,144,225.① D?m??36 时，3?10x?y?1??36 10x?y?1?12 ?x?1,y?1,m?1188② D?m??81 时，3?10x?y?1??81 10x?y?1?27 ?x?2,y?6,m?2673
③ D?m?=144 时，3?10x?y?1??144 10x?y?1?48 ?x?4,y?7,m?4752④ D?m?=225 时，3?10x?y?1??225 10x?y?1?75 ?x?7,y?4,m?7425?综上所述，满足D?m?为完全平方数的m的值为1188，2673,4752,7425.
【点评】：本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征，分类讨论。
【易错点】：易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征；难度一般。
26. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y?-x2?4x上,且横坐标为1，点B与点
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A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐
标为
(1，1)
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH?HF?1FO的最小值； 2（3）在（2）中，PH?HF?1FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60?后得2到△CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）AB?2
（2）PH?HF?139FO=3? 244（3）S1(-1，3+10)；S2(-1，3-10)；S3(5，3)；S4(-1，8)
【解析】解：（1）由题意得A(1，3) B(3，3） D(2，4) C(0，3) E(1，1)
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则AB?2
（2）延长PH，交BE于点N
?B(3，3)，E(1，1)
?直线BE的解析式为:y?x
设P(m，-m2?4m)，1＜m＜3,则N(m，m)
分析可得，当PN取最大值时，S△PBE取最大值
?PN?-m2?4m?m
?-(m?)?3229 4 ?当m?3，PN取最大值 2 ∴P(
3153，)，H(，3) 242构造与y轴夹角为30?的直线OM，如图所示
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2024年重庆市中考数学试题（A卷）及答案（word版）
