13．因式分解（难点） 因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
3233524例：（1）8ab?12abc （2）75xy?35xy
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：
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①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2
例：（1）a2b2?0.25c2 （2）9(a?b)2?6(b?a)?1
（3）a4x2?4a2x2y?4x2y2 （4）(x?y)2?12(x?y)z?36z2
练习：
1、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式，则m的值等于_____。 2、x2?x?m?(x?n)2则m=____n=____ 3、2x3y2与12x6y的公因式是＿
4、若xm?yn=(x?y2)(x?y2)(x2?y4)，则m=_______，n=_________。
5、在多项式m2?n2,?a2?b2,x4?4y2,?4s2?9t4中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式，则m=_______。 7、x2?(_____) x?2?(x?2)(x?_____)8、已知1?x?x2???x2004?x2005?0,则x2006?________.
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9、若16(a?b)2?M?25是完全平方式M=________。 10、x2?6x??__??(x?3)2， x2??___??9?(x?3)2 11、若9x2?k?y2是完全平方式，则k=_______。
12、若x2?4x?4的值为0，则3x2?12x?5的值是________。 13、若x2?ax?15?(x?1)(x?15)则a=_____。 14、若x?y?4,x2?y2?6则xy?___。 15、方程x2?4x?0，的解是________。
易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误； 分解因式不彻底。
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中考考点解读：
整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幂的有关运算
例1．（2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（ ） （A）a3?a2?a6 （C）a8?a2?a4
（B）(a2)3?a5 （D）(ab2)2?a2b4
分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.
解：根据同底数幂的乘法运算法则知a?a?a323?2?a5，所以（A）错；根据幂的乘
方运算法则知(a2)3?a2?3?a6，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知
a8?a2?a8?2?a6，所以（C）错；故选（D）.
例2.（2009年齐齐哈尔）已知10?2，10?3，则10mn3m?2n?____________．
分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则
?nam?an?am,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则(am)n?amn,将指数
相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.
解： 103m?2n2?103m?102n?(10m)3?（10n）?23?32?72.
考点2、整式的乘法运算
1例3．（2009年贺州）计算：(?2a)?(a3?1) = ．
4分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.
解：(?2a)?(a?1)＝(?2a)?考点3、乘法公式
例4. (2009年山西省)计算：?x?3???x?1??x?2?
分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.
2143131a?(?2a)?1＝?a4?2a. 42
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解： ?x?3???x?1??x?2?=x2?6x?9?(x2?2x?x?2) =x?6x?9?x?2x?x?2=9x?7. 例5. (2009年宁夏)已知：a?b?2223，ab?1，化简(a?2)(b?2)的结果是 ． 2分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a?b）与ab，以便求值.
解：(a?2)(b?2)=ab?2a?2b?4=ab?2(a?b)?4=1?2?考点4、利用整式运算求代数式的值
例6．（2009年长沙）先化简，再求值：(a?b)(a?b)?(a?b)2?2a2，其中
3?4?2. 21a?3，b??．
3分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用. 解：(a?b)(a?b)?(a?b)2?2a2
22222 ?a?b?a?2ab?b?2a
?2ab
当a?3，b??1?1?时，2ab?2?3??????2. 3?3?考点5、整式的除法运算
例7. (2009年厦门)计算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.
解：[(2x－y)( 2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x ＝(4x2－6xy)÷2x
＝2x－3y. 考点6、定义新运算
例8.（2009年定西）在实数范围内定义运算“?”，其法则为：a?b?a?b，求方程（4?3）?x?24的解．
分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式a?b?a?b可知，在本题中“?”定义的是平方差运算，即用“?”前边的数的平方减去 “?”后边的数的平方.
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解：∵ a?b?a2?b2 ， ∴ (4?3)?x?(42?32)?x?7?x?72?x2． ∴ 72?x2?24． ∴ x2?25． ∴ x??5． 考点7、乘法公式
例3（1）(2009年白银市) 当x?3、y?1时，代数式(x?y)(x?y)?y2的值是 ． （2）(2009年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.
解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵(a?b)2?a2?2ab?b2，∴a2?b2?(a?b)2?2ab?32?2?2?5.
说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.
考点8、因式分解
例4（1）(2009年本溪市) 分解因式：xy2?9x? ． （2）(2009年锦州市) 分解因式：ab-2ab+b=____________________.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.
2（1）xy?9x? x (y 2-9)= x(y?3)(y?3)．
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（2）a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2．
说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
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整式的乘法与因式分解知识点
