前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若f?x?的极值点为x0，则根据对称性构造一元差函数F?x??f?x0?x??f?x0?x?，巧借F?x?的单调性以及F?0??0，借助于
f?x1??f?x2??f??x0??x0?x2???与f??x0??x0?x2??? ?f?2x0?x2?，比较x2与2x0?x1的大小，即
比较x0与
x2?x1的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙2的想法喝彩。学科#网
本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据f?x1??f?x2?建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解． ★例. 已知函数f(x)?lnx?ax?(2?a)x. （1）讨论f(x)的单调性； （2）设a?0，证明：当0?x?2111时，f(?x)?f(?x)； aaa（3）若函数y?f(x)的图象与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f?(x0)?0.
法二：构造以a为主元的函数，设函数h(a)?f(11?x)?f(?x)， aaxx2x3a2??2x?则h(a)?ln(1?ax)?ln(1?ax)?2ax，h?(a)?， 221?ax1?ax1?ax由0?x?11，解得0?a?，学科&网 ax
1时，h?(a)?0，∴h(a)在(0,??)上单调递增， x111而h(0)?0， 所以h(a)?0，故当0?x?时，f(?x)?f(?x).
aaa当0?a?
【问题的进一步探究】 对数平均不等式的介绍与证明
?a?b(a?b),?两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)??lna?lnb
??a(a?b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
ab?L(a,b)?a?b（此式记为对数平均不等式） 2a?b.不失一般性，可设a?b. 2取等条件：当且仅当a?b时，等号成立. 只证：当a?b时，ab?L(a,b)?证明如下：
（I）先证：ab?L(a,b)……?
[来源学科网ZXXK]
不等式??lna?lnb?a?baab1a?ln???2lnx?x?(其中x??1)
bbaxbab1x211?1?2??(1?)2. xxx构造函数f(x)?2lnx?(x?),(x?1)，则f?(x)?因为x?1时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(1,??)上单调递减， 故f(x)?f(1)?0，从而不等式?成立；
（II）再证：L(a,b)?a?b……?2[来源:Z,xx,k.Com]
a2(?1)2(a?b)a2(x?1)a不等式??lna?lnb??ln?b?lnx?(其中x??1)
aa?bb(?1)(x?1)bb14(x?1)22(x?1)?构造函数g(x)?lnx?.,(x?1)，则g?(x)??22x(x?1)x(x?1)(x?1)因为x?1时，g?(x)?0，所以函数g(x)在(1,??)上单调递增， 故g(x)?g(1)?0，从而不等式?成立；学科*网
综合（I）（II）知，对?a,b?R，都有对数平均不等式ab?L(a,b)?当且仅当a?b时，等号成立.
例题第（3）问另解：由f(x1)?f(x2)?0
?[来源学。科。网Z。X。X。K]
a?b成立， 2[来源学科网]?lnx1?ax12?(2?a)x1?lnx2?ax22?(2?a)x2?0 ?lnx1?lnx2?2(x1?x2)?a(x12?x22?x1?x2)
[来源:Zxxk.Com]?a?lnx1?lnx2?2(x1?x2)
x12?x22?x1?x2x1?x21? 2a故要证f?(x0)?0?x0?x1?x2x12?x22?x1?x2x1?x2?1???2lnx1?lnx2?2(x1?x2)lnx1?lnx2?2x1?x2
?lnx1?lnx22. ?x1?x2x1?x2根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证. ★已知函数f(x)?xlnx与直线y?m交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. 求证：0?x1x2?1 2e
专题1.5 极值点偏移第三招——含对数式的极值点偏移问题-2024届高考数学压轴题讲义(解答题)(解
