一、填空题(每小题3分,共30分)
1、设A,B,C为3个事件,则这三个事件中不多于两个发生可表示为 . 2、已知P?A??0.8,P?B??0.6,P?AUB??0.7,则PAB= ? . 3、设随机变量X的概率密度为
f(x)?A，???x??? 1?x2??则A? 1/pi . 4、若离散型随机变量X的分布律为
Xx113x2ax31 4
pk则a? 5/12 .
5、设X~N(0,1),Y~N(3,4),且X,Y相互独立,Z?3X?2Y,则E(Z)? -6 ,D(Z)? 25 .
6、若随机变量X~N?0,1?,则P?X?0?? . 7、随机变量X的概率密度为
0?x?1?x?f?x???2?x1?x?2?0其它?
则P?X?1.5?? .
8、设X与Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
?e?y,y?0?1,0?x?1, fY(y)?? fX(x)??0,其它0,y?0??则(X,Y)的联合概率密度f(x,y)= . 9、设随机变量X~N(?,?),S是容量为n的样本方差,则
的
X^2 分布.
10、设总体X~N??,0.042?,根据来自X的容量为16的样本,测得样本均值为x?,则
22(n?1)S2?2服从自由度为 n-1
?的置信水平为的置信区间为 (已知?(1.96)?0.975).
[解答]：1、ABC或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC 2、0.1 3、1
?4、
5 5、-6,25 6、 7、 12?e?y,0?x?1,y?08、f(x,y)?? 9、n?1,?2 10、?10.0304,10.0696?
?0,其它
二、(本题12分)两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为,第二台
出现废品的概率为,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求 (1)从中任意取一件零件为合格品的概率;
(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.
三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为
?6x(1?x)，0?x?1f(x)??0,其它?
求Y?2X?1的概率密度。
[解答]
二、设(本题12分)两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为,第二
台出现废品的概率为,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求 (1)从中任意取一件零件为合格品的概率;
(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.
解 设Ai表示取出的产品为第i台机床生产(i?1,2),B表示取出的零件为废品,
则由已知有
1P(A1)?P(A2)?,P(B|A1)?0.03,P(B|A2)?0.022
2分
(1)由全概率公式得
11P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)??0.03??0.02?0.02522 5分
故任意取出的一件零件为合格品的概率为 P(B)?1?P(B)?0.975 7分 (2)由贝叶斯公式得
1P(A2)P(BA2)2?0.02P(A2B)???0.4P(B)0.025 12分
三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为
?6x(1?x)，0?x?1f(x)??0,其它?
求Y?2X?1的概率密度.
解 函数y?g(x)?2x?1在[0,1]内的值域为[1,3]且g?(x)?2?0, 2分 其反函数
11h(y)?(y?1)h?(y)?22 4分 ,
于是随机变量Y的概率密度为
?f[h(y)]h?(y)fY(y)??0?
,1?y?3,其他 8分
?6h(y)?1?h(y)?h?(y)??0 ?,1?y?3,其他
?32??(y?4y?3),1?y?3=?4?0,其他 ? 12分
四、(本题12分)设二维随机变量(X,Y)联合概率密度为
?ce?(2x?3y),x?0,y?0?其它f(x,y)=?0，
(1) 确定常数c.
(2) 求边缘概率密度fX(x)及fY(y),并问X与Y是否独立,为什么? (3) 求P(0?X?1,0?Y?2). [解答]
(1)由密度函数的性质有
??????????f(x,y)dxdy????0???0cce?(2x?3y)dxdy??16 故c?6. 3分
??(2)如果x?0,则 如果x?0,则
fX(x)????f(x,y)dy?0;
fX(x)??????f(x,y)dy??6e?(2x?3y)dy?2e?2x0??故X的边缘密度数为
?2e?2xfX(x)???0
,x?0,x?0 5分
??如果y?0,则
fY(y)????f(x,y)dx?0;
?????(2x?3y)如果y?0,则
fY(y)????f(x,y)dx??6edx?3e?3y0
故X的边缘密度数为
f?3e?3y0Y(y)??,y?
?0,y?0
7分
由于f(x,y)?fX(x)fY(y),故X与Y相互独立.. 9分
21(3)
P(0?X?1,0?Y?2)=??0???0f(x,y)dx???dy ??2???106e?(2x?3y)0?dx???dy
?(1?e?2)(1?e?6) 12分
五、(本题12分)设随机变量X的分布律为
X?1012pk0.20.50.20.1
求: (1)E?2X2?1?; (2)D?2X2?1?.
解 (1) E(X2)?(?1)2?0.2?02?0.5?12?0.2?22?0.1?0.8 ................ 3 E?2X2?1??2E?X2??1?2?0.8?1?0.6 ....................... 6 (2) E(X4)?(?1)4?0.2?04?0.5?14?0.2?24?0.1?2 ................. 9 D?2X2?1??4D?X2?
?4?E?X4???22?E(X)???
?4??2?0.82??
?5.44 .................................... 12
分 分 分 分
概率论与数理统计试题及答案
