2016建平中学自主招生数学真题（附详解）
1、如图，在平面直角坐标系中有
。
（1）求（2）将△在某反比例函
数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线（3）在（2）的条件下，直线
数图像上的点
，使得四边形
交
轴于点
的解析式；
轴上的点
和反比例函
和点
的值；
沿
轴的正方向平移，在第一象限内
两点的对应点
正好落
△
，
，
，
、
、
。问是否存在
是平行四边形。如果存在，请求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由。
yGCBNA
yGC'B'A'xAOCBA'C'B'x
OyP'GCKQEBM'AOHFA'xC'B'
【答案】解：（1）作∵∴
轴于点, ∴
。在
≌
，又∵点
在第二象限，∴
和
中， 。
。
1 / 4
（2）设反比例函数为设把点
和，则
，点。
和在该比例函数图像上，
的坐标分别代入，得。
∴设直线
则的解析式为
。∴反比例函数解析式为
，把
、
。得点；。
两点坐标代入
得，解得。∴直线的解析式为。
（3）设是的中点，由，得点，∴点
的横坐标为，又因为点
，∴。
（解法改进下，由中点公式可得上，所以点
在反比例函数图像
)
过点作直线与轴交于点，与的图象交于点，若四边形是平
行四边形，则有作，则
.
设
，则点轴于点
，
，易知点
轴于点
的横坐标大于
与
，点交于点
的横坐标小于，作
。 轴于点
的横坐标，点的纵坐标为，
点的坐标是。∴。
由,得,∴，
整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。
2 / 4
∴，，。
∴点
2、（1）如图1，求证：
,则点为所求的点，点为所求的点.
；
，延长到，使得
，请你探究线段与线段
，连接．
之间的数量关系．写
（2）延长到，使得
①如图2，连接，若
出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：
．
证明：（1）延长∵∴
至
，使得
，连接
；
；∴四边形是平行四边形； ；在中，；
∴
（2）①答：
；即
．
证明：过∴
作
,交；∵
3 / 4
于
，连接
，
；
∴∴∴∴∵点是
是等边三角形，
；
是等边三角形；
；∴四边形
的中点，∴点是四边形
， ∴
是平行四边形； 对角线
的交点，
∴点共线，∴
可证
；
∴
；
① 证明：分两种情况：
ⅰ）当
时，∴
；∴
ⅱ）当时，以为一组邻边作平行四边形
∴
，
，
∵；∴；∴；
在
中，
；∴
，即
；综上所述，．
4 / 4
；
（如图）
2016建平中学自主招生数学真题(附详解)
