第3节 排序不等式
[核心必知]
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则
(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．
2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则
(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，
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n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
[问题思考]
1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？
提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．
2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？
提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
1
求证：
设a，b，c为正数，且不全相等． 2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据
a＋b，b＋c，c＋a；
1
a＋b，
1
b＋c，
1
c＋a，然后利用柯西不等式解决．
构造两组数a＋b，b＋c，
c＋a；
1
a＋b，
1
b＋c，
1
c＋a，
则由柯西不等式得 (a＋b＋b＋c＋c＋a)?即2(a＋b＋c)?于是
?1＋1＋1?≥(1＋1＋1)2，①
?
?a＋bb＋cc＋a?
?1＋1＋1?≥9，
?
?a＋bb＋cc＋a?
2229＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知， ①中有等号成立?
a＋b1
＝
b＋c1
＝
c＋a1
?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.
a＋bb＋cc＋a因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立， 于是
2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c—————————————
—————
柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2
＋…＋anbn)，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．
2
2
a2b2c2
1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
bca?abc?证明：∵?＋＋?(a＋b＋c) ?bca?
??a?2?b?2?c?2?222＝???＋??＋???·[(b)＋(c)＋(a)] ??b??c??a???a·b＋b·c＋c·a?2≥??
ca?b?
＝(a＋b＋c)，
2
222
?abc?2
即?＋＋?(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)， ?bca?
又a，b，c∈R＋， ∴a＋b＋c>0，
222
a2b2c2
∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立。 bca 设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6 的最大值． [精讲详析] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去
掉根号．
根据柯西不等式
120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)， 故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230. 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
372822
即x＝，y＝，z＝时，等号成立，此时umax＝230.
6915—————
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2
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
3
2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1 的最大值． 解：由柯西不等式，得 (4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)
＝(1×4a＋1＋1×4b＋1＋1×4c＋1) ≤(1＋1＋1)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1) ＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21. 1
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
3
故4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值为21.
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2
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2
1＋2＋…＋（n－1）＋a·n 设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：
xxxxnf(2x)≥2f(x)．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用，解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．
1＋2＋…＋（n－1）＋a·n∵f(2x)＝lg，
2x2x2x2xn∴要证f(2x)≥2f(x)， 只要证 lg
1＋2＋…＋（n－1）＋a·n2x2x2x2xnxxxx≥
1＋2＋…＋（n－1）＋a·n2lg，
n1＋2＋…＋（n－1）＋a·n即证
2x2x2x2xn?1＋2＋…＋（n－1）＋a·n?(*) ≥??n??
也即证n[1＋2＋…＋(n－1)＋a·n] ≥[1＋2＋…＋(n－1)＋a·n]，
xxxx2
2x2x2x2xxxxx2
4
∵ 0≤a≤1，∴a≥a，根据柯西不等式得 n[1＋2＋…＋(n－1)＋a·n]
≥(1＋1＋…＋1),\\s\\do4(n个)){(1)＋(2)＋…＋[(n－1)]＋(a·n)}≥[1＋2＋…＋(n－1)＋a·n]，
即(*)式显然成立，故原不等式成立．
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xx2
2
2
2
2x2x2x2x2
x2x2x2x2xx对于较复杂的证明问题，可采用“分析法”进行“抽丝剥茧”，从而找到柯西不等式的结构特征．
3．已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1. 求证：
a21
a1＋a2a2＋a3
＋a22
＋…＋
a2n－1
an－1＋an＋
1
≥. an＋a12
a2n证明：根据柯西不等式，得 左边＝
a21
a1＋a2a2＋a3
＋a22
＋…＋
a2n－1
an－1＋anan＋a1
＋
a2n
－
1
＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an＋an)＋(an＋
??a1?2?a2?2?a3?2
a1)]×???＋??＋??＋
??a1＋a2??a2＋a3??a3＋a4?
1?an－1?2?an?2?
…＋??＋???×2 ?an－1＋an??an＋a1??
2
2
2
＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an－1＋an)
??a1?2?a2?2an－1?2?＋( an＋a1)]×???＋??＋…＋?? ??a1＋a2??a2＋a3??an－1＋an?
2
＋
??
1?an?2?
???×2 ?an＋a1??
??≥??a1＋a2×
a1??a2?
?＋?a2＋a3×?＋…＋ a1＋a2??a2＋a3?
5
(统编版)2020学年高中数学第三讲第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修66
