延庆县2014—2015学年度第二学期期末考试
高二数学（理科）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡内） 1.在复平面内，复数z?1?3i对应的点位于 1?2iA．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法 A．756种 B．56种 C．28种 D．255种 3.在极坐标中，与圆??4sin?相切的一条直线方程为
A．?sin??2 B．?cos??2 C．?cos??4 D．?cos???4 4.若变量y与x之间的相关系数r??0.9362，则变量y与x之间 A.不具有线性相关关系 B. 具有线性相关关系 C.它们的线性相关关系还需要进一步确定 D.不确定 5.下列求导数运算正确的是
11)??1?2 B.(x2cosx)???2xsinx xx1xxC.(3)??3log3e D.(log2x)??
xln2A.(x?6. 由曲线y?A.
x，直线y?x?2及x轴所围成的图形的面积为
1016 B.4 C. D.6 33x7.“指数函数y?a(a?1)是增函数，y?x(??1)是指数函数，所以y?x
??(??1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是
A．推理完全正确 B.大前提不正确 C．小前提不正确 D．推理形式不正确
1
8.直线??x?3?t ，（t为参数)上与点P(3,4)的距离等于2的点的坐标是
?y?4?tA.(4,3) B.(?4,5)或(0,1) C. (2,5) D.(4,3)或(2,5) 9.袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为 A．
1111 B． C． D． 234610.已知f?(x)是奇函数f(x)的导函数，f(?1)?0，当x?0时，xf?(x)?f(x)?0， 则使得f(x)?0成立的x的取值范围是
A．(??,?1)?(0,1) B．(?1,0)?(1,??) C．(?1,0)?(0,1) D．(??,?1)?(1,??)
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上） 11.(x?315)展开式中的常数项是 ．?10 x2212.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000,50)，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
1?; 2x?y?1??0 2213.已知函数f(x)?tanx,则f(x)在点P(?,f())处的线方程为 .
44?14.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的件数，则
3EX? ．
515.用18m长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____m．3
16.“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),……,则第50个数对是 . (5,6)
2
3
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：
sin?1?cos?. ?1?cos?sin?sin?1?cos?证明：欲证， ?1?cos?sin?2只需证sin??(1?cos?)(1?cos?)，
即证sin??1?cos?，
上式显然成立，故原等式成立． ……5分
22（Ⅱ）已知圆的方程是x?y?r，则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为
222x2y2x0x?y0y?r，类比上述性质，试写出椭圆2?2?1类似的性质．
ab解：圆的性质中，经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与
2x2y2y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆2?2?1类似的性质为：
abx2y2xxyy过椭圆2?2?1一点P(x0,y0)的切线方程为02?02?1. ……10分
abab18.（本小题满分10分） 已知函数
f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值.
（Ⅰ）求实数a,b的值；
（Ⅱ）过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线,求此切线方程. 解：（Ⅰ）
f?(x)?3ax2?2bx?3
……1分
f?(?1)?0即?3a?2b?3?0 ??，?3a?2b?3?0?f(1)?0??解得a?1,b?0， 此时
……4分
f?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)
在x??1两边（附近）f?(x)符号相反，所以x??1处函数f(x)取得极值，
3
同理，在x?1处函数f(x)取得极值. （Ⅱ）设切点坐标为(x0,y0).
2则切线方程为y?y0?(3x0?3)(x?x0)
3216?x0?3x0?(3x0?3)(?x0)
3化简，得 x0??8，即x0??2，
……5分
……7分
……9分 ……10分
所求的切线方程为：9x?y?16?0.
19.（本小题满分12分）
已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.
（Ⅰ）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数?的分布列和数学期望E(?)；
（Ⅱ）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数?的数学期望E(?).
解：（Ⅰ）?的所有可能值为1，2,3,4.
……2分
P(??1)?31?， 6211A3A3?33P(??2)?23??，
A66?5101A32A33?2?33， P(??3)?3??A66?5?42031A3A3?2?31. P(??4)?43??A66?5?4?320 ……6分
故?的分布列为
4
? p 1 1 22 3 4 31 202013317E(?)?1??2??3??4??. ……8分
210202041（Ⅱ）取出后放回，取3次球，可看做3次独立重复试验，所以?:B(3,)，所
213以E(?)?3??. ……12分
2220.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?3 10131x?a2x?a(a?R). 32（Ⅰ）当a?1时，函数g(x)?f?x??b恰有3个零点，求实数b的取值范围； （Ⅱ）若对任意x??0,???，有f(x)?0恒成立，求a的取值范围.
解：解：（Ⅰ）f??x??x?1?(x?1)(x?1) ……1分
2令f??x??0,x1??1,x2?1 ……2分 当x变化时，f??x?,f(x)的取值情况如下：
x (??,?1) ?1 0 极大值 (?1,1) — 减 1 0 极小值 (1,??) ? 增 f??x? f(x) ? 增
f??1??， f?1???761， ……5分 6所以，实数b的取值范围是(?,). ……6
5
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北京市延庆县—学年高二数学下学期期末考试试题 理
