选修4-1 几何证明选讲
第1课时 圆的进一步认识
1. (2017·镇江期末)如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB
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的平分线，点E是AB的中点．求证：直线PC经过点E.
证明：连结AE，EB，OE，
由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°，
因为∠APE是圆周角，∠AOE是同弧上的圆心角，
1
所以∠APE＝∠AOE＝45°.
2
1
同理可得，∠BPE＝∠BOE＝45°，
2
所以PE是∠APB的平分线， 又PC是∠APB的平分线，
所以PC与PE重合，所以直线PC经过点E.
2. 如图，圆O的两弦AB，CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF＝PQ.
证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以ADF＝ABC. 因为PF∥BC，所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP.
又因为APF＝FPD， 所以△APF∽△FPD.
PFPD2
所以＝.所以PF＝PA·PD.
PAPF
2
因为PQ与圆O相切，所以PQ＝PA·PD.
22
所以PF＝PQ.所以PF＝PQ.
3. 如图，圆O与圆P相交于A，B两点，点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F.若CD＝2，CB＝22，求EF的长．
解：连结PB，∵ BC切圆P于点B， ∴PB⊥BC.
又CD＝2，CB＝22，
2
由切割线定理得CB＝CD·CE， ∴ CE＝4，DE＝2，BP＝1.
∵ EF⊥CE，
EFCE
∴ △CPB∽△CFE，∴ ＝，EF＝2.
PBCB
4. 如图，AB，AC是圆O的切线，ADE是圆O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE.
证明：∵ AB是圆O的切线， ∴ ∠ABD＝∠AEB. ∵ ∠BAD＝∠EAB， ∴ △BAD∽△EAB. BDAB∴ ＝. BEAECDAC同理＝.
CEAE
∵ AB，AC是圆O的切线，∴ AB＝AC. BDCD
∴ ＝，即BE· CD＝BD· CE. BECE
5. (2017·南通、泰州模拟)如图，已知△ABC内接于圆O，连结AO并延长交圆O于点D，∠ACB＝∠ADC.求证：AD·BC＝2AC·CD.
证明：证明：连结OC.
因为∠ACB＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC， 所以∠ACB＝∠ABC.
因为OC＝OD，所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC.
ACBC
所以＝，即AC·CD＝OC·BC.
OCCD
1
因为OC＝AD，
2
所以AD·BC＝2AC·CD.
6. (2017·苏北三市模拟)如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且点A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的大小．
解：连结AN，DN.
因为A为弧MN的中点， 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB，
所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB，
所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°， 故∠ADB＝45°.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与圆O交于点D，连结AD并延长交BC于P.
(1) 求证：AE·AB＝AD·AP.
(2) 已知AE＝EB＝4，AD＝5，求AP的长．
(1)证明：连结EF，则∠AEF＝90°.
∵ ∠ACB＝90°，∴ B，C，F，E四点共圆． 则∠AFE＝∠B.
∵ ∠ADE＝∠AFE，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ B，P，D，E四点共圆． 则AE·AB＝AD·AP.
(2)解：∵ AE＝EB＝4，AD＝5，∴ AB＝8.
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由(1)AE·AB＝AD·AP，得AP＝.
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8. (2017·苏锡常镇二模)如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.
证明：连结OD，设圆的半径为R，BE＝x， 则OD＝R，DE＝2BE＝2x，
2
在Rt△ODE中，∵ DC⊥OB，∴ OD＝OC?OE，
2
∴ R＝OC(R＋x) ①.
2
∵ 直线DE切圆O于点D，∴ DE＝BE?AE，
2
∴ 4x＝x(2R＋x) ②，
2R∴ x＝. 3
3R2R
代入①，解得OC＝，∴ BC＝OB－OC＝，
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∴ 2OC＝3BC.
推荐2019版高考数学一轮复习训练：几何证明选讲课时训练选修4-1
